ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ АНАЛИЗ

— исследование влияния структуры, численных значений параметров и внешних воздействий на динамические свойства и поведение линейных систем. Анализ осуществляется на основе изучения свойств решений дифф. уравнений, описывающих систему. В общем случае автоматические системы описываются нелинейными дифф. уравнениями. Однако процессы, происходящие в некоторых нелинейных системах, несущественно отличаются от процессов в линейных системах, поэтому для анализа таких систем можно применять т. н. линеаризованные уравнения первого приближения. При достаточно малых возмущениях, действующих на систему, по линеаризованным уравнениям можно судить о некоторых важных свойствах исходной системы. Вопрос о законности и границах применимости метода линеаризации в исследовании динамики систем был наиболее полно и до конца исследован рус. математиком А. М. Ляпуновым (см. Ляпунова методы). Для анализа свойств линейных систем автомат, управления эффективны методы, основанные на интегральных преобразованиях Лапласа и Фурье, т. н. операторные методы. Осн. содержанием анализа линейных систем является исследование устойчивости, качества переходного процесса и точности воспроизведения управляющего воздействия.

Исследование устойчивости является первой и осн. задачей анализа систем автоматического управления. Для того, чтобы линейная система с постоянными параметрами была асимптотически устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы действительные части корней были отрицательными (см. Устойчивости непрерывных систем теория). Проблема устойчивости (как и вообще анализа линейных систем) была бы исчерпана, если бы достаточно просто можно было вычислить корни. Но ввиду трудностей вычисления корней были разработаны методы оценки знаков действительных частей косвенным путем, по коэффициентам характеристического уравнения на основе т. н. устойчивости критериев. Наиболее распространенными являются алгебраические критерии Гурвица и Рауса, частотный критерий Найквиста и графоаналитический критерий Михайлова (см. Гурвииа теорема).

Часто бывает необходимо установить, при каких значениях параметров, которые входят в коэффициенты характеристического уравнения, система будет устойчивой. Для этой цели наиболее простым и эффективным методом является метод -разбиения. Этот метод заключается в построении кривой, которая является отображением мнимой оси плоскости корней на плоскость параметров системы. Эта кривая разбивает плоскость на ряд областей, каждой из которых соответствует определенное количество корней с отрицательной действительной частью. Путем нанесения штрихован выделяют область, содержащую наибольшее число таких корней, и далее, пользуясь любым критерием устойчивости, проверяют устойчивость для каких-либо значений параметров из этой области. Если система устойчива для этих контрольных значений параметров, то она будет устойчивой для всех значений параметра внутри этой области.

Устойчивость далеко не полностью характеризует динамические свойства системы. Существенны еще и другие показатели, которые в общей совокупности характеризуют качество процесса регулирования.

1. Кривая переходного процесса.

2. Область определения корней характеристического уравнения.

Последнее определенным образом связано с качеством переходного процесса — реакции системы на входное воздействие типа единичного толчка. Поэтому качество процесса регулирования можно анализировать по показателям качества переходного процесса (см. Критерии качества систем автоматического управления).

Качество переходного процесса анализируется прямым путем — на основе переходной характеристики системы, если последняя известна или легко может быть определена, или же косвенно — по коэффициентам характеристического уравнения и т. д. Применяются следующие показатели качества переходного процесса: время переходного процесса величина абсолютной статической погрешности хуст или относительной статической погрешности величина перерегулирования а величина колебательности (число колебаний за время и др. Здесь жуст и жтах — соответственно заданное, установившееся (за время ) и макс. значения регулируемой величины. Как и в случае анализа устойчивости, разработаны косвенные методы анализа качества линейных автомат, систем, не требующие определения переходной характеристики и вычисления корней характеристического уравнения.

К косвенным методам анализа качества переходного процесса относятся также методы, основанные на изучении расположения корней характеристического уравнения на комплексной плоскости, на использовании частотных характеристик, интегральные методы и др. Если все корни характеристического уравнения расположены внутри трапеции слева от мнимой оси комплексной плоскости (рис. 2), где — степень устойчивости, величина колебательности, то это свидетельствует о том, что показатели качества будут не хуже заданных значении определяющих границы этой трапеции. Задача анализа качества и заключается в установлении этого факта. Последний может быть достаточно просто выявлен на основе т. н. метода смещенного характеристического уравнения. Смещенное уравнение получается заменой s на в характеристическом уравнении, что соответствует переносу мнимой оси плоскости корней влево на величину . Кроме того, поворотом мнимой оси на угол (90° — 0) против часовой стрелки и соответствующим преобразованием характеристического уравнения получают преобразованное характеристическое уравнение. Если корни преобразованного и смещенного уравнений имеют отрицательные вещественные части, то корни исходного характеристического уравнения все расположены внутри трапеции. Так достаточно просто можно не только установить факт расположения всех корней внутри желаемой области, заданной тех. условиями, но и произвести выбор параметров системы так, чтобы все корни входили в эту область. Это делается путем соответствующего выбора параметров системы, исходя из условий устойчивости смещенного и преобразованного характеристических уравнений.

Для анализа устойчивости и качества переходного процесса применяется также корневого годографа метод. Он заключается в построении корневых траекторий — т. е. геом. места веей совокупности значений корней характеристического уравнения в зависимости от изменения какого-нибудь параметра системы. По этим траекториям можно достаточно полно судить об устойчивости и качестве переходного процесса системы. Существенным недостатком этого метода является трудность построения траектории корней.

Рассмотренные методы оценки качества переходного процесса имеют один общий недостаток: не учитывается влияние правой части дифф. уравнения системы, от которой также существенно зависит качество переходного процесса. Действительно, переходная характеристика определяется как решение неоднородного дифф. уравнения системы

при единичном входе и нулевых начальных условиях. Правая часть уравнения зависит от того, к какому элементу системы приложено воздействие левая же — не зависит. Изображение по Лапласу переходной характеристики в силу этого уравнения будет

Учитывая в анализе качества только левую часть уравнения, пользуются фактически искаженной переходной характеристикой

что безусловно влияет на результаты анализа качества. Но при прочих равных условиях качество реального переходного процесса в общем случае тем лучше, чем лучше показатели качества, полученные без учета правой части уравнения, т. е. изложенные выше методы имеют безусловную ценность.

Большое значение имеют частотные методы анализа качества, которые позволяют произвести оценки качества по виду различных частотных характеристик системы.

Наряду с рассмотренными методами для оценки качества широко применяются интегральные методы, позволяющие учитывать и знаменатель, и числитель передаточной функции, т. е. учитывают не только левую, но и правую части дифф. уравнений системы. Наиболее часто применяют следующие интегральные цценки:

где x (t) - переходная характеристика. Качество системы тем лучше, чем меньше значения этих интегралов. При анализе качества интегральными методами обычно ставятся две задачи: 1) определить величину интеграла и 2) так подобрать параметры системы, чтобы значение интеграла было минимальным. Обе эти задачи решаются косвенным путем, не требующим определения переходной характеристики. Интегралы и могут быть выражены через коэффициенты левой и правой части дифф. уравнения системы, и, следовательно, по ним можно вычислить значение этих интегралов или же минимизировать их соответствующим выбором настроечных параметров системы, входящих в эти коэффициенты.

Одной из важных задач анализа линейных систем управления является исследование вынужденных движений, вызванных внешними воздействиями, т. е. анализ точности воспроизведения управляющего сигнала на фоне помех и вредных возмущений. О последних обычно известно лишь то, что они относятся к определенному классу функций — детерминированных или случайных. Если о возмущениях ничего не известно, кроме того, что они изменяются в заданном диапазоне, то задача может решаться методами теории инвариантности (см. Инвариантность систем автоматического управления). При случайном характере помех и возмущений эта задача решается методами теории случайных функций — статистическими методами, суть которых заключается главным образом в оценке точности функционирования системы по величине ее среднеквадратической погрешности. В зависимости от статистических свойств помех и возмущений разработаны различные методы анализа точности линейных систем. Анализ линейных систем с точки зрения точности при изменении параметров системы осуществляют на основе теории чувствительности (см. Динамических систем теория чувствительности).

Характерно, что анализ точности любыми методами не исключает анализа устойчивости и качества переходного процесса. Для анализа систем со многими регулируемыми величинами, кроме вышеизложенного, решается еще дополнительно задача автономного управления (см. Автономность).

Лит.: Воронов А. А. Основы теории автоматического управления, ч. 1. М.- Л., 1965 [библиогр. с. 382—392]; Теория автоматического регулирования, кн. 1. М., 1967 [библиогр. с. 743—763].

А. Г. Шевелев.