ИНТЕГРИРОВАНИЕ СИМВОЛЬНОЕ, интегр ирование аналитическое
— нахождение первообразной функции, если ее можно записать в аналитическом виде. Методы И. с. впервые были опубликованы в работах И. Ньютона (1643-1727), Г.-В. Лейбница (1646—1716). Дальнейшее развитие эти методы получили в работах Л. Эйлера (1707— 83), В. П. Остроградского (1801 — 62), Ш. Эрмита (1822—1901) и др. Процесс интегрирования, основанный на этих методах, не является однозначным и рассчитан на использование эвристических способностей человека.
Появление развитых алгоритмических языков и ЦВМ с большими возможностями по символьным преобразованиям дало возможность в 60-х гг. 20 ст. приступить к созданию больших универсальных программ И. с. Эти программы носят эвристический характер. Целью их создания является изучение вопросов, связанных с проблемой «искусственного интеллекта», а также практическое использование при решении ряда задач, требующих интегрирования вблиаи полюсов и интегрирования быстроосциллирующих ф-ций. Эти программы применяют при использовании асимптотических методов, а также в тех случаях, когда необходимо получить общее решение, зависящее от буквенных параметров.
Программа SAINT, созданная на основе тех же принципов, что и широко известная программа «Логик-теоретик», является попыткой при решении задачи И. с. моделировать человеческий образ мышления. Программа использует таблицу из 26 стандартных форм для получения непосредственного решения. Если интеграл не табличный, то делается попытка привести его к табличному виду с помощью одного из 18 предусмотренных в программе преобразований. К числу таких преобразований относятся преобразования вида
и т. п., а также различные подстановки. Перебор применяемых преобразований осуществляется эвристически в соответствии с таблицей признаков (характеристикой), составленной для каждого вида интегрируемого выражения. После преобразования опять делают попытку применить таблицу. Эта программа была написана на языке ЛИСП и реализована на машине «IВМ-7090».
Программа SIN, созданная в 1967, была написана также на языке ЛИСП, но для работы на машине «IВМ-7094». Эта программа состоит из трех уровней. Первые два уровня предусматривают применение таблицы и ряда эвристических преобразований, среди которых важнейшую роль играют подстановки и 
для интеграла вида
где F — одна из тригонометрических ф-ций, а 
произвольная ф-ция. Ко второму уровню относятся также интегрирование по частям. Если первый или второй уровень к успеху не приводит, то с помощью подставок 
Эйлера 
или подстановки 
и других делают попытку преобразовать трансцендентные подынтегральные выражения к дробно-рациональному виду. После этого используют метод Остроградского для выделения рациональной части. В последних вариантах программы для этой цели использовали также алгоритм Ритча. Процедура И. с. была использована как составная часть внутреннего матем. обеспечения машины «МИР-2» с входным языком АНАЛИТИК. Процедура (программа) разделена
на три уровня. Первый уровень содержит таблицу из десяти табличных интегралов. Вследствие свойств языка АНАЛИТИК эта таблица является весьма емкой, т. к. содержит очень общие формы, такие как 
. Такие формы применяют и в вырожденных случаях, когда параметры равны 0 или 1. В этом случае машина автоматически производит упрощение громоздких правых частей. Второй уровень программы предусматривает использование тождественных преобразований и применение различных подстановок. Центр, роль при этом играет преобразование выражений к виду (1). Однако ф-ция F является произвольной. Третий уровень предусматривает применение различных тождественных преобразований, увеличивающих однозначность записи подынтегральных выражений. К ним относятся тождества вида 
, уничтожение иррациональности в знаменателе и т. п. Эти преобразования не носят принципиального характера, однако значительно увеличивают вероятность успеха при интегрировании.
При решении практических задач, требующих массового интегрирования на машине «Мир-2», применяют специализированные программы, рассчитанные на быстрое интегрирование соответствующих классов интегралов. Лит.: Фишман Ю. С. Интегрирование функций на машине, выполняющей аналитические преобразования. «Теория автоматов и методы формализованного синтеза вычислительных машин и систем». 1968, в. 2; Слэйджл Д. Эвристическая программа, решающая задачи символьного интегрирования в объеме первого курса университета. В кн.: Вычислительные машины и мышление. Пер. с англ. М., 1967.
Ю. С. Фишман.
