ИМПЛИКАЦИЯ СТРОГАЯ

— импликация, свободная от так называемых парадоксов материальной импликации (м. и.): «из лжи следует все, что угодно», «истина следует из чего угодно». Наиболее известный вид И. с. - И. с. Льюиса, введенная им в 1932. В модальных исчислениях К. Льюиса И. с. выражается через м. и. и модальный оператор необходимости: «если А, то В» означает «невозможно, чтобы А и не В выполнялись одновременно». Однако в исчислениях Льюиса возникают «парадоксы И. с.»: «необходимое высказывание следует из любого», «из невозможного высказывания следует любое». Исчисление И. с., в котором невыводимы «парадоксы» как м. и., так и И. с. Льюиса, описал В. Аккерман в 1956. В 1958 была предложена некоторая модификация исчисления Аккермана — эквивалентное исчисление Е. Схемы аксиом и правила вывода следующие:

В исчислении Е для выводимости И. с. А В необходима некоторая связь между А и В. Напр., формула невыводима, если А и В не имеют общей буквы (теорема Белнапа — Донченко). В отличие от м. и., И. с. не имеет конечной истинностной таблицы. Важным в исчислении Е является исчисление 1-й ступени, формулы которого не содержат импликации под знаком другой импликации. Такие формулы допускают довольно простое семантическое истолкование. Кроме того, построен алгоритм, позволяющий для любой формулы первой ступени узнать, выводима ли она в . В связи с трудностями семантической интерпретации и проблемы разрешения для всего Е, было построено еще одно исчисление И. с. . Это исчисление, будучи более слабым, чем Е, совпадает с Я на формулах первой ступени и, кроме того, является разрешимым. Найден алгоритм распознавания выводимости для некоторых других исчислений, подобных Е. Наиболее интересно из них — импликативно-негативиое исчисление с аксиомами и правилом вывода .

Л. Л. Максижова.