КОНЕЧНОРАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ, методы сеток

— численные методы решения алгебраических, дифференциальных, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений, основанные на замене дифференциальных операторов разностными операторами, интегралов — суммами, а функций непрерывного аргумента (н. а.) — функциями дискретного аргумента (д. а.). Такая замена приводит к системе, вообще говоря, нелинейных алгебр, ур-ний, которые в конечном итоге сводятся к линейной системе итерационным методом.

Если исходная задача имеет вид

где цилиндрическая область интегрирования, граница области Q, D — ее основание, и — искомая вектор-ф-ция, заданные вектор-ф-ции, пространственный векторный аргумент, операторы (не обязательно ограниченные), то простейшая схема интегрирования исходного ур-ния имеет вид:

Здесь сеточная ф-ция, являющаяся решением разностного ур-ния, разностные операторы, зависящие от параметров сетки, сеточная область, аппроксимирующая некоторым образом область ее граница, F и G — сеточные ф-ции, аппроксимирующие ф-ции соответственно. Частным случаем схемы (2) является схема с весами, когда а — весовой коэфф. Схема двухслойной, т. к. она связывает между собой значения разностного решения на двух временных слоях возможны также и многослойные схемы. Если оператор где Е — единичный оператор, обратим, то схема (2) может быть представлена в разрешенном виде

где оператор о наз. оператором шага разностной схемы и учитывает краевые условия, ф-ция, зависящая от F и G. Говорят, что оператор , зависящий от параметра аппроксимирует (приближенно) оператор А, если при . Здесь и некоторое эталонное семейство ф-ций, на котором проверяется аппроксимация (напр., семейство достаточно гладких ф-ций). Схема корректной, или устойчивой, если , где в означает норму оператора о в некотором банаховом простр. В (см. Пространство абстрактное в функциональном анализе), которое может зависеть от h. Схема (2) аппроксимирует ур-ние (1), если . Для линейных систем ур-ний установлены теоремы сходимости, утверждающие, что сходимость разностного решения к решению исходного ур-ния следует из аппроксимации и корректности (устойчивости) разностной схемы.

Если свойства аппроксимации, устойчивости и сходимости имеют место лишь при некотором соотношении между параметрами сетки , где то их наз. условными. Если же эти свойства справедливы при любом соотношении между , то их наз. абсолютными. Схема явной, если и неявной, если Абсолютно сходящиеся схемы существуют лишь в классе неявных схем. Как правило, при соответствующем выборе параметров схемы (напр., весовых коэфф.) неявные схемы являются абсолютно устойчивыми, они допускают сколь угодно большой шаг т. Но обращение оператора усложняет алгоритм. В случае одномерных задач неявные схемы реализуют факторизации методом; они являются достаточно экономичными. Для многомерных задач неявные экономичные схемы получают с помощью дробных шагов метода, который сводит многомерные задачи к последовательности одномерных или более простых задач. Для решения стационарных задач применяют метод стационирования (установления), в котором стационарное решение рассматривается как предел нестационарного решения со стационарными (или устанавливающимися) краевыми условиями. В соответствии с этим стационарную задачу решают итерационным методом, аналогичным разностному методу интегрирования (2). В отличие от нестационарного случая, оператор а для итерационного процесса должен быть сильно устойчив, т. е. должен удовлетворять условию При решении нелинейных задач, особенно в механике сплошной среды, применяют комбинации схем интегрирования с итерационными методами (т. н. итерации по нелинейности). Лит.: Годунов С. К., Рябенький В. С. Введение в теорию разностных схем. М., 1962 [библиогр. с. 272—274]; Яненко Н. Н. Методы дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск, 1967 [библиогр. с. 189— 193]; Самарский А. А. Введение в теорию разностных схем. М., 1971 [библиогр. с. 538—550]; Рихтмайер Р. Д., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. Пер. с англ. М., 1972 [библиогр. с. 381—413]. Н. Н. Япенко.