КАРДИНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА

— характеристики, приписываемые классам эквивалентных множеств. Важной задачей множеств теории является общее определение «числа элементов» мн-ва. Для конечных мн-в задача решается сравнением с отрезками натурального ряда: если мн-во А равномощно такому отрезку, т. е. может быть биективно отображено на него, то за число его элементов принимают (запись: ). Для счетных мн-в, которые все равномощны мн-ву натуральных чисел друг другу), «число элементов» выражается символом («алеф-нуль»); счетность мн-ва А выражается записью Существование несчетных мн-в доказал нем. математик Г. Кантор (1845—1918) с помощью диагонального процесса, приобретшего затем фундаментальное значение в анализе и логике. Рассмотрим действительные числа и докажем, что мн-во таких чисел несчетно. Для этого изобразим числа бесконечными десятичными дробями вида причем положительные числа с конечными разложениями записываются с бесконечным рядом девяток Предположим (вопреки доказываемому), что мн-во [0,1) счетно; тогда все числа можно пронумеровать числами Запишем соответствующие десятичные разложения в порядке этих номеров:

(здесь первый индекс — номер числа, второй — номер десятичного знака). «Испортим» диагональные знаки, взяв причем так, чтобн никакое не было равно 0 или 9. Тогда число не может содержаться в табл. в самом деле, если бы оно занимало в строку, то было бы Но тогда не вошло бы в нумерацию чисел вопреки предположению: полученное противоречие доказывает несчетность мн-ва [0,1). (Аналогичные рассуждения лежат в основе доказательств алгоритмической неразрешимости). Все непустые отрезки действительной оси R в сама эта ось равномощны отрезку [0,1). Ему же равномощны евклидовы пространства любой размерности. Обо всех этих мн-вах говорят, что они имеют мощность континуума (continuum — «непрерывное» — употребляется как синоним ).

Другой способ получения мн-в, равномощных [0, 1), также очень важен в математике. Разлагая числа в бесконечные двоичные дроби или т. е. в ряды вида устанавливают биективное соответствие между отрезком [0, 1) и мн-вом двоичных дробей, т. е. мн-вом последовательностей . Каждой такой последовательности соответствует подмножество состоящее из тех чисел к, для которых Итак, [0,1) равномощно мн-ву всех подмножеств натурального ряда Z; отсюда для мн-в мощности континуума запись:

В общем случае, пусть означает равномощность А, В. Тогда , из следует следует . Таким образом, равномощность есть

аквивалентностпи отношение между мн-вами. Класс эквивалентности мн-в наз. мощностью, или К. ч., каждого из мн-в класса; так есть мощность любого счетного мн-ва, мощность любого мн-ва, равномощного [0,1). Общая запись означает, что мощность мн-ва А есть класс эквивалентности мн-в, обозначенный символом . Естественно ввести между мощностями отношение порядка: если , то означает, что А равномощно некоторой части В, но В не равномощно никакой части А (в частности, самому А). Имеет место теорема, по которой для любых мн-в, В либо А равномощно части В, либо В — части А; если верно то и другое, то А и В равномощны. Тем самым для любых двух мощностей имеется три взаимно исключающих друг друга возможности означает совпадение). В этом смысле К. ч. напоминают обычные числа. Для К, ч. можно ввести операции сложения и умножения, но возникающая при этом арифметика весьма не похожа на обычную. Доказано, что мн-во всех подмножеств любого мн-ва А имеет мощность большую, чем А, откуда следует, что мн-во К. ч. не ограничено.

Важнейшей нерешенной задачей теории мн-в с самого начала была проблема континуума: существует ли мощность, промежуточная между счетной и мощностью континуума? «Гипотеза континуума» состояла в том, что такой мощности нет, т. е., что мн-во, равномощное части отрезка [0,1), либо равпомощно всему отрезку, либо конечно или счетно. Для устранения парадоксов, возникающих в «наивной» теории мн-в, была построена аксиоматика теории мн-в. Австр. математик К. Гёдель показал в 1940, что гипотеза континуума совместима с аксиомами теории мн-в, т. е. не может быть опровергнута никаким рассуждением, исходящим из этих аксиом. Наконец, в 1963 амер. математик П. Коэн полностью решил проблему континуума, показав, что гипотеза континуума не может быть доказана никаким рассуждением, исходящим из аксиом теории мн-в. Т. о., принятие или отвержение гипотезы континуума одинаково законно, что ведет к двум равноправным «математикам». Этот результат является одним из наиболее глубоких в основаниях математики.

Лит.: .