ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ КЛАССИФИКАЦИЯ.

Дифференциальное уравнение, содержащее, кроме независимых переменных и искомой функции, также и частные производные этой функции, наз. дифференциальным уравнением с частными производными. Наивысший порядок частных производных, входящих в ур-ние, наз. порядком дифф. ур-ния. Дифф. ур-ние наз. линейным, если оно линейно относительно искомой ф-ции и всех ее производных.

Дифф. ур-ние 2-го порядка

в данной точке наз. эллиптическим, параболическим и гиперболическим, если в этой точке соответственно

где

Классификация дифф. ур-ний 2-го порядка

где основана на приведении квадратичной формы к каноническому виду. Выбрав надлежащие преобразования приведем (3) к виду

где .

Дифф. ур-ние эллиптическим в данной точке, если и все знаки в левой части (4) одинаковы, гиперболическим в данной точке, если и все знаки, кроме одного, в левой части (4) одинаковы, и параболическим в узком смысле, если в левой части (4) все члены имеют одинаковые знаки, один член, напр. отсутствует, а правая часть содержит соответственно производную

Дифф. ур-ние параболическим (в широком смысле), если оно наз. ультрагиперболическим в данной точке, если в левой части (4) имеется больше чем по одному положительному и отрицательному знаку.

Система ур-ний

наз. гиперболической системой (г. с.) в данной точке, если в этой точке определитель матрицы

где имеет вещественные и различные корни. Если указанный определитель не имеет в точке действительных корней, то система эллиптической системой (э. с.) в точке. Примером порядка является система Коши—Римана

Система ур-ний

наз. эллиптической в точке, если при любых значениях вещественных переменных для которых определитель порядка N, у которого элемент на пересечении строки и -ого столбца имеет вид

и отличен от нуля в этой точке. Примером порядка является система ур-ний Ламе:

Дифф. ур-ние -ого порядка

где коэфф. не меняются ни при какой перестановке индексов эллиптическим в точке, если в этой точке для любых вещественных чисел выполняется неравенство

Примером эллиптического ур-ния порядка является бигармоническое ур-ние

Э. с. и эллиптические ур-ния высокого порядка являются обобщением эллиптического ур-ния

2-го порядка

Система ур-ний

где — целое число, наз. параболической системой (п. с.) (в смысле Петровского) в точке если для любых вещественных корни определителя порядка , у которого элемент на пересечении строки и -ого столбца имеет вид

и удовлетворяет в этой точке неравенству

с некоторой положительной постоянной .

П. с. являются обобщением одного параболического ур-ния 2-го порядка

Система ур-ний

наз. г. с. (в смысле Петровского) в точке если при любых действительных определитель порядка , у которого элемент на пересечении строки и -ого столбца имеет вид

имеет в этой точке только действительные и различные корни. Г. с. являются обобщением одного гиперболического ур-ния 2-го порядка

Дифф. ур-ние или система ур-ний принадлежат к данному типу в некоторой области, если они принадлежат к данному типу в каждой точке этой области. Если дифф. ур-ние в одной части области принадлежит к одному типу, а в другой — к другому, то во всей области оно наз. ур-нием смешанного типа; то же относится и к системам ур-ний.

Имеется классификация и более сложных дифф. уравнений, напр., нелинейных, но эту классификацию в наст, время нельзя считать установившейся.

Лит.: Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными. М., 1961; Бабич В. М. [и др.]. Линейные уравнения математической физики. М., 1964 [библиогр. с. 343—362].

В. Г. Приказчиков.