ИГРА БЕСКОАЛИЦИОННАЯ

— игра, участники которой, действуя изолированно друг от друга, преследуют индивидуальные цели. Формально И. б. может быть задана системой:

где — мн-во игроков, мн-во стратегий игрока его выигрыша функция, определенная на декартовом произведении и принимающая вещественные значения.

Примером может быть игра Морра с тремя игроками. Каждый из трех игроков показывает двум другим один или два пальца. Если все игроки показали одинаковое к-во пальцев,

то выигрыш каждого игрока равняется 0. Если же один из игроков показал к-во пальцев, отличающееся от показанного его партнерами, то он получает 1, а два других — по .

Одной из стратегий, приводящих к ситуациям равновесия, является следующая стратегия смешанная: каждый из игроков с вероятностью — показывает один палец и с вероятносттью два.

Важным принципом оптим. поведения игроков является осуществимости цели принцип, приводящий к ситуациям равновесия. Эти ситуации, а также некоторые их мн-ва принято считать решениями И. б. Ситуации равновесия s и взаимозаменяемыми, если любая ситуация где или также равновесна. Они наз. эквивалентными, если для всех . Пусть Q — мн-во всех ситуаций равновесия, мн-во ситуаций равновесия, оптим. по Парето (см. Парето оптимум). Игра наз. разрешимой по Нэшу, если все эквивалентны и взаимозаменяемы. Игра наз. сильно разрешимой, если Q непусто и все эквивалентны и взаимозаменяемы. Доказано, что И. б. не обязательно имеет решение по Нэшу, но если она его имеет, то это решение единственно. Имеются и другие подходы к определению оптим. поведения в И. б.

К И. б. относятся игры антагонистические, в т. ч. игры на выживание, игры на единичном квадрате, игры динамические, игры матричные, игры стохастические и некоторые др. Лит.: Воробьев Н. Н. Конечные бескоалиционные игры. «Успехи математических наук», 1959, т. 14, в. 4; Воробьев Н. Н. Современное состояние теории игр. «Успехи математических наук», 1970. т. 25, в. 2; Нэш Дж. Бескоалиционные игры. В кн.: Матричные игры. М., 1961. Г. П. Ткаченко. ИГРА БИМАТРИЧНАЯ — игра бескоалиционная двух лиц, имеющих конечное число стратегий. И. б. задаются парой матриц выигрышей одинаковых размеров. Если 1-й игрок выбирает строку , а 2-й - столбец , то выигрыш 1-го игрока Если для всех то И. б. оказывается игрой матричной. Теория И. б. является наиболее простым разделом общей теории бескоалиционных игр. Однако исчерпывающей теории оптим. поведения игроков в И. б. пока нет.

Примером И. б. может служить игра с матрицами выигрышей

Эта игра обычно интерпретируется как конфликт двух бандитов, задержанных по подозрению в тяжелом преступлении, причем каждый имеет две стратегии: «запираться» и «сознаваться». Если оба будут запираться, то за отсутствием прямых улик они будут приговорены к умеренному наказанию (напр., за бродяжничество; срок заключения — 1 год). Если оба сознаются, то будут приговорены к суровому наказанию с учетом сознания как смягчающего обстоятельства (8 лет заключения). Если один сознается, а другой нет, то сознавшийся получает помилование, а запирающийся — макс. наказание (10 лет заключения). Равновесия ситуацией будет здесь обоюдное признание, приводящее к крупным потерям (по 8 лет), а Парето оптимумом — обоюдное запирательство, которое, однако, неустойчиво. М. Ф. Казакова, Н. Н. Воробьев.