ГРУППЫ НЕПРЕРЫВНЫЕ.

Непрерывной (топологической) наз. группа, снабженная топологией, относительно которой непрерывна групповая операция. Более точно, группа непрерывной, если в мн-во G введена топология, относительно которой мн-во G образует топологическое пространство, и если ф-ции обратный элемент группы и произведение элементов группы — непрерывны. Если Г. н., то гомоморфизмом гомоморфизм групп, являющийся непрерывным отображением соответствующих топологических пространств. В частности, изоморфизмом наз. изоморфизм групп, являющийся гомеоморфизмом топологических пространств. Аналогично в теории Г. н. с учетом топологии видоизменяются и др. понятия групп теории (подгруппа, факторгруппа и т. п.).

Примеры: R — группа действительных чисел. Групповой операцией является сложение чисел. Топология вводится путем естественного отождествления действительных чисел с точками числовой оси. группа поворотов вокруг оси. Групповой операцией является сложение углов поворота (по модулю ). В этом случае топология вводится путем естественного отождествления угла поворота с точкой окружности. группа всех невырожденных квадратных вещественных матриц порядка п. Групповой операцией является умножение матриц. Топология вводится путем отождествления матрицы с точкой -мерного евклидового пространства, координатами которой являются матричные элементы.

В приложениях чаще приходится иметь дело с группами преобразований. Г. н. преобразований называют тройку где G — Г. н., X — топологическое пространство и непрерывная, ф-ция со значениями в X. Предполагается, что при каждом является гомеоморфизмом X на себя, а также, что имеет место соотношение Группа преобразований наз. транзитивной, если для каждой пары точек найдется преобразование Т переводящее точку Группа естественным образом определяет группу линейных преобразований векторного пространства если вектор из то

Г. н., встречающиеся в приложениях, являются обычно группами Ли. Г. н. G наз. -параметрической группой Ли, если некоторая окрестность единицы группы гомеоморфна -мерному евклидовому пространству. В этом случае можно в G (локально) ввести координаты и определить элемент g с помощью координат Ф-ции сводятся к набору из ф-ций от (соответственно ) переменных

Из теории групп известно, что при надлежащем выборе координат, ф-ции являются аналитическими. Это обстоятельство позволяет широко применять матем. анализ при изучении групп . Рассмотренные выше группы являются группами (первые две однопараметрические, а последняя — - параметрическая).

Алгеброй Ли векторное пространство (обычно над полем действительных чисел), снабженное бинарной операцией , удовлетворяющей следующим условиям: а) линейность по обоим аргументам, б) (тождество Якоби). Алгебры Ли являются более простыми объектами, чем группы Ли. Оказывается, что между алгебрами Ли и группами Ли, рассматриваемыми локально (т. е. в некоторой окрестности е), существует взаимнооднозначное соответствие, позволяющее свести многие вопросы, касающиеся групп Ли, к соответствующим алгебрам.

Поясним точнее эту связь. Рассмотрим Г. н. преобразований где -мерная группа Ли, X — -мерное дифференцируемое многообразие и — бесконечно дифференцируемая ф-ция. X — пространство бесконечно дифференцируемых ф-ций на X. Для каждого g е. является оператором линейным в X. Пустьаь координаты элемента g. Частные производные ются линейными дифф. операторами первого порядка. Они наз. операторами Ли группы преобразований (инфинитезимальные операторы). изменение ф-ции под воздействием «бесконечно малого» преобразования, соответствующего элементу группы, координата которого отличается от координаты е на Если группа преобразований эффективна то линейные комбинации операторов образуют -мерное векторное пространство Положим Оказывается, что и относительно так введенной Операции образует алгебру Ли, не зависящую от . Это и есть алгебра Ли группы G. Пусть теперь — линейные дифф. операторы первого порядка в X. Предположим, что их линейная оболочка L является -мерным векторным пространством и Тогда L образует алгебру Ли. Теперь можно построить (локально) группу преобразований и, в частности, восстановить группу G, для которой L является алгеброй Ли, полагая

Перечислим некоторые группы Ли, особенно часто встречающиеся в приложениях. Наряду с указанными выше группами это группа всех невырожденных квадратных матриц порядка с комплексными элементами, а также ряд ее подгрупп и подгрупп группы : подгруппа состоящая из матриц, оставляющих инвариантной форму . В частности, — группа вращений -мерного евклидового пространства. подгруппа состоящая из матриц с определителем : подгруппа , состоящая из матриц, оставляющих инвариантной эрмитову форму хрхр . В частности, — группа унитарных матриц. подгруппа состоящая из матриц, оставляющих инвариантной форму находят применение в теории представлений (см. Представлений групп теория). Пусть G — Г. н. и Г. н. преобразований. Гомеоморфизм представлением группы G в группе преобразований Обычно под представлением понимают линейное представление. В этом случае роль играет группа рассматриваемая как группа преобразований -мерного векторного пространства Представление группы относит каждому элементу группы g матрицу определяющую линейное преобразование в так, что Центр, задачей теории представлений является отыскание минимальных подпространств, инвариантных относительно преобразований [неприводимые подпространства (представления)], и разложение произвольных векторов из по этим подпространствам. В настоящее время интенсивно разрабатывается также теория бесконечномерных представлений, в которой роль играет бесконечномерное векторное пространство.

Рассмотрим непрерывную транзитивную группу преобразований некоторое бесконечномерное векторное пространство ф-ций на X (пространство всех непрерывных ф-ций, всех бесконечно дифференцируемых ф-ций, всех ф-ций, суммируемых с квадратом по некоторой мере, и т. п.). Преобразования определяют линейные операторы: пространства X. последние образуют бесконечномерное представление группы G. Изучение этого представления, в частности, получение разложения ф-ций из X по ф-циям из неприводимых подпространств, составляет предмет гармонического анализа. Классический гармонический анализ рассматривает случай, когда

окружность или числовая ось. Упомянутыми разложениями являются соответственно ряд и интеграл Фурье. Еще один пример: пусть группа вращений трехмерного евклидового пространства, сфера в трехмерном пространстве с центром в начале координат. Соответствующее разложение — разложение ф-ции на сфере в ряд по сферическим ф-циям.

Теория динамических систем изучает нетранзитивные группы преобразований. Лучше всего изучены системы с группой . В этом случае элемент группы интерпретируется как время, как закон движения точки . Проблематика таких систем берет начало в общей механике и имеет в ней важные приложения. Теория групп буквально пронизывает всю современную математику. Перечисленное выше не исчерпывает даже важнейшие применения теории групп в матем. разделах.

Лит.: Любарский Г. Я. Теория групп и ее применение в физике. М., 1958 [библиогр. с. 345— 349]; Понтрягин Л. С. Непрерывные группы. М., 1973 [библиогр. с. 515—516]; Вигнер Е. Теория групп и ее приложения к квантовомеханической теории атомных спектров. Пер. с англ. М., 1961; Хамермеш М. Теория групп и ее применение к физическим проблемам. Пер. с англ. М., 1966 [библиогр. с. 579—582]. Г. И. Нац.