ВЕРОЯТНОСТЕЙ ТЕОРИЯ

— математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений. Под случайным понимают такое явление, которое при многократном воспроизведении всех доступных фиксации условий его появления (условий опыта) приводит к различным результатам (исходам опыта). Эти различия в протекании явления обусловлены влиянием многочисленных не поддающихся точному учету факторов.

Случайные явления, как правило, носят массовый характер, т. е. многократно повторяются в неизменных или почти неизмевных условиях. Поэтому говорят также, что В. т.

есть наука о закономерностях в массовых явлениях. Практика показывает, что в массовых случайных явлениях проявляются вполне определенные закономерности, своего рода устойчивости, свойственные именно массовым явлениям. Напр., при бросании монеты невозможно заранее предсказать, какая сторона монеты (герб или надпись) выпадет в данном конкретном опыте. Однако при увеличении числа бросаний частота появления герба (т. е. отношение числа появлений герба к общему числу бросаний) постепенно стабилизируется, приближаясь к числу 1/2.

Центральным понятием В. т. есть понятие вероятности. Вероятность того или иного события можно оценить по результатам длинной серии опытов (наблюдений). В. т. позволяет находить значения вероятностей одних событий по известным вероятностям других событий, связанных каким-либо образом с первыми.

Наиболее просто определяют основные понятия В. т. как матем. науки в рамках т. н. элементарной В. т. В элементарной В. т. исходят из предположения, что каждый опыт s заканчивается (в зависимости от случая) одним и только одним из событий , которые наз. элементарными событиями (или исходами) опыта. Мн-во Q всех элементарных событий наз. пространством элементарных событий. С каждым элементарным событием связывается положительное число вероятность данного исхода; при этом . Каждое событие А, связанное с данным опытом S, можно представить как событие, заключающееся в том, что «наступило или или или где некоторые элементарные события (записывается так об исходах , говорят, что они «благоприятствуют событию А». Таким образом, мн-во всех событий, связанных с опытом S, отождествляется с мн-вом всех подмножеств пространства элементарных событий Q, в частности, само Q наз. достоверным событием (оно происходит при любом исходе опыта), а пустое подмн-во 0 пространства Q наз. невозмо событием (оно не происходит ни при каком исходе опыта). Вероятность Р (А) события по определению, равна сумме вероятностей всех тех элементарных событий, которые благоприятствуют А, т. е.

Из определения следует, что и для любого события . В частности, когда (все исходы равновозможны), получаем т. н. классическое определение вероятности

где — число исходов, благоприятствующих событию общее число исходов опыта. Классическое определение сводит понятие «вероятности» к неопределяемому понятию «равновозможности».

Пример. При бросании двух игральных костей (кубиков из однородного материала с занумерованными от 1 до 6 гранями) возможны 36 взаимно исключающих друг друга исходов, которые можно обозначить , где i — номер выпавшей грани на первой кости, j — на второй. Естественно считать все исходы равновероятными. Событию А — «сумма выпавших очков равна 6» — благоприятствуют 5 исходов, а именно: (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), и (5,1), поэтому

Вопрос о выборе вероятностей в каждой конкретной задаче лежит, по существу, вне В. т. как матем. науки. В одних случаях этот выбор можно произвести на основании обработки большого числа наблюдений, в других случаях (как, напр., в рассмотренном примере с игральной костью) на основании существующей объективной симметрии связи между условиями опыта и его исходами и т. д.

Объединением (или суммой) событий наз. событие А, которое состоит в наступлении хотя бы одного из событий (обозначается ). Пересечением (или произведением) событий событие А, которое заключается в совместном наступлении и события , и события (обозначается или . Аналогично определяются объединение и пересечение любого числа событий (обозначаются: или События несовместными, если наступление одного из них исключает наступление другого (т. е., если не могут произойти одновременно). Событие, заключающееся в ненаступлении события А, наз. противоположным к А и обозначается

Основными положениями элементарной В. т. есть теоремы сложения и умножения вероятностей и полной вероятности формула. Теорема сложения вероятностей заключается в следующем. Если события таковы, что каждые два из них несовместны, то вероятность объединения их равна сумме вероятностей этих событий, т. е.

Пусть производится N испытаний и при этом события . В наступают соответственно раз. Выделим из общего числа испытаний те, в которых наступило событие В, и подсчитаем среди них

долю тех, в которых наступило и событие А. Эта доля (условная частота наступления события А при условии В) равна

При увеличении числа испытаний отношение будет приближаться к отношению . Это последнее отношение и наз. условной вероятностью события А при условии В (обозначается , т. е. полагают по определению

В случае классического определения вероятности формула (3) приводит к формуле

где — число исходов, благоприятствующих событию число исходов, благоприятствующих совместному наступлению А и В. В соответствии с формулой (2) равенство (4) определяет вероятность события А в новых условиях, возникающих после наступления события В. Из (3) вытекает т. н. теорема умножения вероятностей (для двух событий): . Теорема умножения обобщается на любое число

События А и В наз. независимыми, если (отсюда в силу теоремы умножения следует, что и События независимыми (более точно: независимыми в совокупности), если условная вероятность любого из них при условии, что наступили какие-то из остальных событий, равна безусловной вероятности этого события. Для независимых событий теорема умножения вероятностей означает, что т. е. вероятность совместного осуществления независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. В практических вопросах для определения независимости данных событий редко прибегают к проверке равенств типа . Обычно для этого пользуются интуитивными соображениями, основанными на опыте. Основанием для этого служит концепция, согласно которой события, происходящие в различных опытах, пренебрежимо мало связанных в физическом смысле, являются независимыми.

Если события независимы, а вероятности их наступления одинаковы и равны , то вероятность наступления точно к из них равна

Вероятность Q того, что число наступлений событий будет заключено в пределах от до составляет

При больших приближенное значение вероятности Q можно получить из предельной теоремы Лапласа:

где нормальная ф-ция распределения (см. Нормальное распределение)

Важнейшим понятием В. т. является понятие о случайной величине. Говорят, что задана случайная величина, если каждому исходу опыта поставлено в соответствие некоторое число . Иными словами, случайная величина — это числовая ф-ция, определенная на исходах опыта. Если случайная величина, то значения которые она принимает, наз. ее возможными значениями. Пусть все различные возможные значения g. Обозначим тогда . Набор всех возможных значений и соответствующих им вероятностей распределением случайной величины. Распределение вероятностей случайной величины дает ее наиболее полное описание. Однако в ряде случаев о случайной величине требуется иметь лишь некоторое суммарное представление. Для этого используют различные числовые характеристики случайных величин, из которых наиболее употребительны математическое ожидание и дисперсия.

Схема опыта с конечным числом исходов недостаточна для применений В. т. В практике исследований очень часто встречаются явления, которые нельзя с удовлетворительной точностью описать этой схемой. Такие ситуации возникают, напр., при исследовании времени безотказной работы прибора, при изучении случайных шумов в радиотехнических устр-вах. В первом случае в качестве мн-ва

исходов «опыта» естественно принять мн-во всех положительных чисел, во втором — мн-во функций времени (графиков шумов). Поэтому очень важное значение имеет формально-логическое построение общей схемы В. т., пригодной для описания всех ситуаций, которые возникают в настоящее время, и в то же время удовлетворяющей запросы практики.

Общепризнанной является логическая схема построения основ В. т., которую предложил в 1933 сов. математик А. Н. Колмогоров. Осн. черты этой схемы таковы. С каждым реальным опытом (испытанием, экспериментом) связывается некоторое ми-во элементарных событий (исходов опыта) со; само Q наз. пространством элементарных событий. Всякое событие описывается мн-вом благоприятствующих ему элементарных событий, т. е. рассматривается как некоторое мн-во элементарных событий. Над событиями (подмножествами пространства Q) вводятся теоретико-множественные операции объединения, пересечения и др.; при этом полностью сохраняется терминология элементарной В. т. Далее выделяется некоторый класс 55 событий (класс наблюдаемых в данном опыте событий), образующий т. н. а.алгебру (или борелевское поле) событий. В элементарной В. т. вероятность определялась формулой (1); при этом в качестве исходных принимались вероятности элементарных событий. В общей схеме В. т. событие, вообще говоря, является бесконечным мн-вом элементарных событий, вероятность каждого из которых может равняться нулю. Поэтому в общей схеме, по определению, считаются заданными вероятности всех событий из 5, причем свойство вероятности, выражаемое в элементарной В. т. теоремой сложения, здесь не выводится из определения, а включается в него. Точнее, предполагается, что каждому событию А из 55 соответствует некоторое число Р (А), называемое вероятностью события А, причем выполняются следующие условия: 1) если события попарно несовместны, то Свойства неотрицательности (условие 1) и аддитивности (условие 3) вероятности есть основные свойства меры мн-ва. Таким образом, вероятность есть нормированная (условием 2) вполне аддитивная мера, определенная на а. алгебре - подмножеств пространства Q; поэтому с формальной точки зрения В. т. может рассматриваться как раздел теории меры. При таком подходе основные понятия В. т. получают новое освещение: события из 55 превращаются в измеримые мн-ва пространства Q, случайные величины — в измеримые относительно 55 функции, матем. ожидания случайных величин — в абстрактные интегралы Лебега и т. п. Изложение В. т., основанное на простой системе аксиом [типа 1), 2), 3)], вносит полную ясность в формальное строение этой теории и способствует развитию как самой В. т., так и сходных с ней по формальному строению матем. теорий.

Основная познавательная ценность В. т. раскрывается предельными теоремами. Простейшим примером таких теорем является теорема (закон) Бернулли, утверждающая, что при большом числе независимых испытаний частота появления какого-либо события А лишь незначительно отклоняется от его вероятности . Если — число появлений события А при испытании, то общее число появлений этого события при испытаниях равно сумме величины независимы, каждая из них принимает лишь два значения: 1 с вероятностью с вероятностью . В этих обозначениях теорема Бернулли утверждает, что при любом фиксированном

при . Теорема Бернулли является простейшим частным случаем больших чисел закона. Примером предельной теоремы другого типа является упоминавшаяся выше теорема Лапласа, которая в принятых здесь обозначениях утверждает, что при

где нормальная ф-ция распределения; теорема Лапласа дает оценку вероятности отклонений частоты наступления события А от вероятности его наступления и является простейшим частным случаем центральной предельной теоремы.

Предельные теоремы для сумм случайных величин тесно связаны с важным разделом случайных процессов теорией. Те законы распределения, которые выступают в качестве предельных для нарастающих сумм случайных величин, в теории случайных процессов являются точными законами распределения соответствующих характеристик. Используя это, многие предельные теоремы удается доказать с помощью соответствующих случайных процессов.

В. т. находит широкое применение во многих разделах естествознания и техники (гл. о. в теории погрешностей наблюдений); она положена в основу игр теории, информации теории, массового обслуживания теории и математической статистики.

В. т. как матем. наука возникла в середине 17 в. Первые работы по В. т., принадлежащие франц. ученым Б. Паскалю (1623—62) и П. Ферма (1601—65) и голл. ученому X. Гюйгенсу (1629—95), появились в связи с подсчетом различных вероятностей в азартных играх. Крупный вклад в В. т. внес швейц. математик Я. Бернулли (1654—1705), установивший закон больших чисел для схемы независимых испытаний с двумя исходами (опубл. 1713). Дальнейшее развитие В. т.

связано с именами англ. матем. А. Муавра (1667—1754), франц. ученого П. Лапласа (1749—1827), нем. матем. К. Гаусса (1777— 1855), франц. матем. С. Пуассона (1781—1840). Следующий этап в развитии В. т. связан в основном с именами рус. математиков П. Л. Чебышева (1821—94), А. М. Ляпунова (1857— 1918) и А. А. Маркова (1856—1922). Чебышев в 1867 доказал закон больших чисел при весьма общих предположениях; он же впервые сформулировал центр, предельную теорему для сумм независимых случайных величин (1887) и указал один из методов ее доказательства. Ляпунов другим методом получил (1901) близкое к окончательному решению решение этого вопроса. Марков впервые рассмотрел (1907) один случай зависимых испытаний, впоследствии получивший наименование цепей Маркова. В. т. превратилась в одну из наиболее быстро развивающихся матем. наук, тесно связанную с потребностями практики. Значительный вклад в ее развитие внесли сов. математики С. Н. Бернштейн (1880—1968), А. Я. Хинчин (1894—1959) и А. Н. Колмогоров (р. 1903).

Лит.: Колмогоров А. Н. Основные понятия теории вероятностей. М.-Л., 1936 [библиогр. с. 80]; Бернштейн С. Н. Теория вероятностей. М.-Л., 1946 [библиогр. с. 547—549]; Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А. Теория вероятностей. Основные понятия. Предельные теоремы. Случайные процессы. М., 1967 [библиогр. с. 481—487]; Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. М., 1969 [библиогр. с. 390—395]; Гнеденко Б. В., Хинчин А. Я. Элементарное введение в теорию вероятностей. М., 1970; Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее применение. Пер. с англ., т. 1—2. М., 1967. Н. П. Слободенюк.