ГРАДИЕНТ

функции в точке вектор, координаты которого в пространстве равны частным производным этой функции в точке Обозначения Г.: Г. определяет направление, для которого производная по направлению ф-ции максимальна. Это свойство определило широкое использование Г. в различных оптимизации методах.

Для функционала определенного в линейном нормированном пространстве Е, роль Г. играет сильная производная. Оператор действующий из сильной производной (производной Фреше) функционала в точке если для произвольного элемента имеет место равенство

Первое слагаемое в правой части равенства, аппроксимирующее с точностью до величины порядка малости высшего, чем дифференциалом Фреше, или сильным дифференциалом и обозначается Слабым дифференциалом (дифференциалом Гато) функционала в точке выражение

Существование сильного дифференциала обеспечивает существование слабого дифференциала, причем но не всегда наличие слабого дифференциала обеспечивает существование сильного дифференциала. Последнее имеет место, когда слабый дифференциал существует, равномерно непрерывен по в некотором шаре Е и непрерывен по h. В этом случае существует и сильный дифференциал, и Если слабый дифференциал линеен относительно h, т. е. то оператор, действующий из Е в , — называют слабой производной (производной Гато) функционала в точке X. Р-А. Поляк, М. Е. Примак.