ВИНЕРА—ХОПФА УРАВНЕНИЕ первого рода
— уравнение вида
где
— корреляционные функции стационарных эргодических случайных процессов
импульсная переходная функция. Впервые получили его в 1931 совместно амер. и нем. математики Н. Винер и Э. Хопф. К В. — X. у. приводят задачи синтеза оптимальной физически реализуемой передаточной функции (ФРПФ) или импульсной переходной ф-ции по критерию минимума среднеквадратической ошибки:
где 
— заданный преобразующий оператор, М — символ матем. ожидания, 
входной сигнал системы, 
желаемый выходной сигнал системы. При этом различают задачи: 1) оптим. сглаживания или фильтрации, когда 
где 
полезный сигнал, 
— шум; 2) статистического упреждения, когда 
оптим. фильтрации с одновременным упреждением, когда 
Общая формула для определения оптимальной ФРПФ 
имеет вид
где 
— взаимная спектральная плотность сигналов 
Функция, аналитическая в правой полуплоскости; 
функция, аналитическая в левой полуплоскости; 
спектральная плотность сигнала 
. Для дробно-рациональных спектральных плотностей оптимальную ФРПФ находят по формуле
где операция 
означает разложение 
на сумму элементарных дробей и отбрасывание членов, имеющих полюсы в правой полуплоскости.
Лит.: Теория автоматического регулирования, кн. 2. М., 1967 Тбиблиогр. с. 653-674]; Wiener N. Extrapolation, interpolation and smoothing of stationary time series. New York, 1950. В. П. Яковлев.
