§ 5.5. Основы теории m-фильтров. Каскадное включение фильтров.

Для увеличения крутизны характеристики в начале полосы затухания, получения заданного значения затухания при определенной частоте (частотах) и меньшей зависимости от частоты в полосе прозрачности применяют полузвенья -фильтров, каскадно включаемые с -фильтрами.

На рис. 5.6 в качестве примера изображены две возможные схемы каскадного включения Т-полузвена и -фильтров. На практике обычно применяют также схемы, в которых -фильтр находится между двумя полузвеньями -фильтра.

Входное сопротивление фильтра берут равным сопротивлению источника сигнала (источника питания) . Схемы рис. 5.6 применяют, когда сопротивление нагрузки на выходе фильтра не может быть взято равным . Схему рис. 5.8, а и ей подобные используют, когда

Рассмотрим свойства полузвеньев -фильтров и каскадных соединений их с -фильтрами. На рис. 5.6, а Т-полузвено -фильтра, состоящее из сопротивлений каскадно соединено с -фильтром типа k (сопротивления ). На рис. 5.6, б Г-полузвено -фильтра из сопротивлений каскадно соединено с Г-фильтром типа k (сопротивления ). Сопротивления зависят от а сопротивления — от Поэтому говорят, что прототипами Т- или Г-полузвеньев -фильтров являются каскадно соединенные с ними -фильтры.

При каскадном соединении фильтров друг с другом всегда соблюдают принцип согласованности. Входное сопротивление -фильтра должно быть равно сопротивлению нагрузки на выходе этого фильтра: Для левого полузвена т-фильтра является сопротивлением нагрузки. Несимметричный четырехполюсник, каким является полузвено -фильтра, описывается двумя характеристическими сопротивлениями

Рис. 5.7

Рис. 5.8

Сопротивление в -фильтре рис. 5.6, а определяется как входное сопротивление схемы рис. 5.7, а, в которой нагрузкой является (входное сопротивление k-фильтра). Сопротивление для полузвена -фильтра представляет собой входное сопротивление схемы рис. 5.7, б, в которой нагрузкой является

Коэффициенты А, В, С, D, Т-полузвена -фильтра рис. 5.6, а вычислим по формулам § 4.5, полагая в них . В результате получим

Подставим найденные значения А, В, С, D в формулы для

Входное сопротивление второго каскада схемы рис. 5.6, а

Сопротивление в Т-полузвене -фильтра рис. 5.6, а берут равным где числовой коэффициент находится в интервале от 0 до 1. Подставляя в вместо и приравнивая подкоренные выражения формул (5.12) и (5.13), получим Уравнение для определения

Последнее выражение свидетельствует о том, что сопротивление образовано двумя параллельно соединенными сопротивлениями (рис. 5.7, в).

Так как образовано параллельно соединенными сопротивлениями, которые является зависимыми (производными) от сопротивлений -фильтра, -фильтр рис. 5.6, а называют фильтром параллельно-производного типа.

Заменим в схеме рис. 5.6, а сопротивление на второе полузвено -фильтра, на входе которого включим согласованную нагрузку (рис. 5.8, а).

Если первое полузвено -фильтра схемы рис. 5.6, а представляло собой Л-полузве-но, состоящее из сопротивлений то второе полузвено -фильтра должно представлять собой Г-полузвено, состоящее из тех же сопротивлений но как бы перевернутых относительно вертикальной прямой. Для второго полузвена т-фильтра входное сопротивление слева равно а входное сопротивление справа (со стороны нагрузки ) — Практически для фильтра НЧ берут равным его значению при со а для фильтра ВЧ — его значению при со Для -фильтра рис. 5.6, а в обоих случаях где L и С — индуктивность и емкость

-фильтра, являющегося прототипом -фильтра. Для фильтра НЧ — это значения L и С в схеме рис. 5.1, б, а для фильтра ВЧ — в схеме рис. 5.2, б.

Границы полосы прозрачности у -фильтра определяют так же, как и у -фильтра, т. е. полагая для фильтров НЧ и ВЧ. В полосе затухания для -фильтра

Знак минус относится к полосе частот от до знак плюс — к полосе частот от до для фильтров НЧ и к полосе частот от до 0 для фильтров ВЧ (объясняется это тем, что сопротивление изменяет знак при резонансной частоте ).

Границы полосы прозрачности по частоте для -фильтра и для каскадно и согласованно с ним соединенного -фильтра совпадают. Результирующее затухание всего фильтра а равно сумме затуханий и -фильтров:

Характер зависимости для -фильтров НЧ и ВЧ показан на рис. 5.8, б, в, где — частота среза (граничная частота полосы прозрачности). На рис. 5.8, б — резонансная частота, при которой противоположного характера сопротивления — в схеме рис. 5.7, в вступают в резонанс, так что (при частоте сор при этом бесконечно велико затухание -фильтра. В области частот от до затухание резко возрастает, что существенно, так как получается большое затухание в начале полосы затухания, где мало. Уменьшение при компенсируется ростом Напряжение на входных зажимах фильтра опережает напряжение на нагрузке на угол , где — угол сдвига фаз от -фильтра, — угол сдвига фаз от -фильтра. Зависимость рассмотрена Зависимость показана на рис. 5.8, г для фильтра НЧ и на рис. 5.8, д — для фильтра ВЧ. Зависимость для фильтра НЧ показана на рис. 5.9, б при трех значениях . При сопротивление остается приблизительно постоянным почти по всей полосе прозрачности, резко уменьшается только вблизи частоты среза.

Рассмотрим свойства Г-полузвена -фильтра рис. 5.9, а, являющегося составной частью фильтра рис. 5.6, б. Опуская промежуточные выкладки, запишем окончательные выражения для этого фильтра:

Входное сопротивление -фильтра рис. 5.6, б

Г-полузвено m-фильтра рис. 5.9, а называют последовательно-производным, так как его сопротивление состоит из двух последовательно соединенных сопротивлении являющихся производными от сопротивлений -фильтра.

Рис. 5.9

Сопротивления Z, и имеют противоположный характер (одно индуктивный, другое емкостный), поэтому при некоторой частоте сопротивление (резонанс напряжений). Для полосы прозрачности зависимость для фильтра НЧ (от для фильтра ВЧ) при трех значениях показана на рис. 5.8, е.

При относительно мало изменяется в полосе прозрачности, что важно для практики. Зависимости для -фильтра рис. 5.6, б такие же, как и для соответствующего ему -фильтра рис. 5.6, а. Обобщенно можно сказать, что теоретически бесконечно большое затухание в -фильтре на частоте создается либо за счет того, что на этой частоте в последовательной ветви полузвена -фильтра оказывается участок с бесконечно большим сопротивлением (возникает резонанс токов), либо за счет того, что параллельная ветвь -фильтра образует короткое замыкание при возникновении в ней режима резонанса напряжений. При каскадном соединении нескольких -фильтров значения L, С выбирают различными, чтобы создавать большие затухания на нескольких заданных частотах и т. п.). При этом зависимость например, для фильтра НЧ имеет вид гребенки (рис. 5.9, в). Фильтр с такой характеристикой иногда называют гребенчатым. На рис. 5.10, а показана схема последовательно-производного полосно-пропускающего фильтра. Параметры ее соответствуют соотношениям, указанным на рис. 5 9, .

Рис. 5.10

Рис. 5.11

Продольные элементы могут быть заменены одним а элементы и С — на На рис. 5.10, б представлена схема последовательно-производного иолосно-заграждающего фильтра (q имеет тот же смысл). В обоих схемах сопротивление нагрузки берут равным но для фильтра рис. 5.10, а при а для фильтра рис. 5.10, б при