§ 11.2. Составление дифференциальных уравнений для однородной линии с распределенными параметрами.

Пусть — продольное активное сопротивление единицы длины линии; — индуктивность единицы длины линии; — емкость единицы длины линии; — поперечная проводимость единицы длины линии. Поперечная проводимость не является обратной величиной продольного сопротивления .

Разобьем линию на участки длиной (рис. 11.2), где — расстояние, отсчитываемое от начала линии. На длине активное сопротивление равно индуктивность — проводимость утечки — и емкость — Обозначим ток в начале рассматриваемого участка линии через i, а напряжение между проводами линии — через и. И ток и напряжение являются в общем случае функциями расстояния вдоль линии и времени t. Поэтому в дальнейшем в уравнениях использованы частные производные от по времени t и расстоянию

Если для некоторого момента времени t ток в начале рассматриваемого участка равен i, то в результате утечки через поперечный элемент ток в конце участка для того же момента времени равен где — скорость изменения тока в направлении Скорость, умноженная на расстояние является приращением тока на пути

Аналогично, если напряжение в начале участка и, то в конце Участка для того же момента времени напряжение равно и

Составим уравнение по второму закону Кирхгофа для замкнутого контура, образованного участком линии длиной обойдя его По часовой стрелке:

После упрощения и деления уравнения на получим

По первому закону Кирхгофа,

Ток (рис. 11.2) равен сумме токов, проходящих через проводимость и емкость

Пренебрегаем слагаемыми второго порядка малости. Тогда

Подставим (11.3) в (11.2), упростим и поделим уравнение на

Уравнения (11.1) и (11.4) являются основными дифференциальными уравнениями для линии с распределенными параметрами.