§ 8.12. Составление характеристического уравнения системы.

Число алгебраических уравнений равно числу неизвестных свободных токов. Положим, что известно (в действительности оно пока не найдено и будет определено в дальнейшем) и решим систему (8.8) относительно :

где — определитель системы.

В рассмотренном примере

Определитель , получим из выражения для определителя путем замены первого столбца правой частью уравнений (8.8):

Определитель получим из выражения для Д путем замены второго столбца правой частью системы (8.8) и т. д.

Так как в правой части системы (8.8) находятся нули, то в каждом определителе один из столбцов будет состоять из нулей.

Известно, что если в определителе один из столбцов состоит из нулей, то этот определитель равен нулю. Следовательно, .

Из физических соображений ясно, что каждый из свободных токов не может быть равен нулю, ибо в этом случае не будут выполнены законы коммутации. Однако из предыдущего следует, что .

Свободные токи могут быть не равны нулю в том случае, когда определитель системы

Таким образом, определитель алгебраизированной системы уравнений должен равняться нулю.

Уравнение называют характеристическим уравнением. Единственным неизвестным в нем является .

Пример 75. Используя уравнение (8.9), составить характеристическое уравнение для схемы рис. 8.4, а и найти его корни.

Решение:

или

Если дробь равна нулю, то равен нулю ее числитель. Следвательно,

Корни квадратного уравнения

В начале § 8.11 говорилось о том, что решение для свободного тока берется в виде . Если характеристическое уравнение имеет не один корень, а несколько, например , то для каждого свободного тока (напряжения) нужно взять .

Пример 76. Найти корни характеристического уравнения схемы рис. 8.4, а при 1) ; 2) ; 3)

Решение: 1) При ;

2)

3)