§ 2.23. Преобразование звезды в треугольник и треугольника в звезду.

Соединение трех сопротивлений, имеющее вид трехлучевой звезды (рис. 2.25), называют звездой, а соединение трех сопротивлений так, что они образуют собой стороны треугольника (рис. 2.26), — треугольником. В узлах (потенциалы их ) треугольник и звезда соединяются с остальной частью схемы (не показанной на рисунках).

Обозначим токи, подтекающие к узлам 1, 2, 3, через

Часто при подсчете электрических цепей оказывается полезным преобразовать треугольник в звезду или, наоборот, звезду в треугольник. Практически чаще бывает необходимо преобразовывать треугольник в звезду. Если преобразование выполнить таким образом, что при одинаковых значениях потенциалов одноименных точек треугольника и звезды подтекающие к этим точкам токи одинаковы, то вся внешняя схема «не заметит» произведенной замены. Выведем формулы преобразований. С этой целью выразим токи звезде и в треугольнике через разности потенциалов точек и соответствующие проводимости.

Для звезды

но

Рис. 2.25

Рис. 2.26

Подставим (2.24) в (2.23) и найдем

откуда

Введем в выражение (2.24) для тока

Для треугольника в соответствии с обозначениями на рис. 2.26

Так как ток в схеме рис. 2.25 равен току в схеме рис. 2.26 при любых значениях потенциалов то коэффициент при в правой части (2.27) равен коэффициенту при в правой части (2.26), а коэффициент при в правой части (2.27) — коэффициенту при в правой части (2.26).

Следовательно,

Аналогично,

Формулы (2.28) — (2.30) дают возможность определить проводимости сторон треугольника через проводимости лучей звезды.

Они имеют легко запоминающуюся структуру: индексы у проводимостей в числителе правой части соответствуют индексам у проводимости в левой части; в знаменателе — сумма проводимостей лучей звезды.

Из уравнений (2.28) — (2.30) выразим сопротивления лучей звезды через сопротивления сторон треугольника:

С этой целью запишем дроби, обратные (2.28) — (2.30):

где

Подставив (2.31), (2.33) и (2.34) в (2.32), получим

Следовательно,

Подставив в (2.33), найдем

Аналогично,

Структура формул (2.35) — (2.37) аналогична структуре формул (2.28) — (2.30).

Преобразование треугольника в звезду можно пояснить, рассмотрев, например, схему рис. 2.27, а, б. На рис. 2.27, а изображена схема до преобразования, пунктиром обведен преобразуемый треугольник. На рис. 2.27, б представлена та же схема после преобразования. Расчет токов произвести для нее проще (например, методом двух узлов), чем для схемы рис. 2.27, а.

В полезности преобразования звезды в треугольник можно убедиться на примере схем рис. 2.27, в, г. На рис. 2.27, в изображена схема до преобразования, пунктиром обведена преобразуемая в треугольник звезда.

Рис. 2.27

На рис. 2.27, г представлена схема после преобразования, которая свелась к последовательному соединению сопротивлений.

Пример 24. Найти значения сопротивлений в схеме рис. 2.27, б, если сопротивления в схеме рис. 2.27, а равны соответственно 2,3,5 Ом.

Решение. По формуле (2.35), ; по формуле (2.36), ; по формуле (2.37), .