§ 8.40. Некоторые теоремы и предельные соотношения.

1. Теорема смещения в области оригиналов (теорема запаздывания). Если изображение функции равно F(p), то изображение функции равно

Теорема доказывается путем подстановки в формулу преобразования Лапласа и введения новой переменной

Пример на применение теоремы см. в § 8.60.

2. Теорема смещения в области изображений. Если изображению функции F(p) соответствует функция то изображению — функция

Доказательство проводят путем подстановки функции в формулу преобразования Лапласа:

Пример 87. Найти оригинал если известно, что

Решение:

3. Теорема об изменении масштаба (теорема подобия). Если Функции соответствует изображение F(p), то функции изображение — .

Теорема доказывается следующим образом:

4. Нахождение начального значения функции времени по изображению функции

Это соотношение получают, если в (8.33) устремим к бесконечности. При этом левая часть (8.33) равна нулю. 5. Нахождение установившегося значения функции времени по изображению функции

Соотношение получим, если в (8.33) р устремим к нулю и учтем, что . В результате имеем

или

Если искомая функция в послекоммутационном режиме содержит в своем составе периодическую составляющую (принужденную или свободную), то понятие для нее оказывается неопределенным. Например, не имеет определенного смысла функция при . В соответствии с этим к цепям с синусоидальными источниками не следует применять предельное соотношение п. 5. Точно так же не следует пользоваться им для цепей без синусоидальных источников, если эти цени чисто реактивные и не содержат резисторов. Так, при подключении последовательно соединенных L и нулевых начальных условиях) к единичному напряжению по цепи протекает свободная составляющая тока, численно равная . В этом случае определять как также не имеет смысла.

6. Дифференцирование в области изображений. Если , то Доказательство:

Например, если

7. Интегрирование в области изображений. Если при и преобразуемы по Лапласу и существует,

Доказательство:

Например, если