§ 2.22. Метод узловых потенциалов.

Ток в любой ветви схемы можно найти по закону Ома для участка цепи, содержащего ЭДС. Для того чтобы можно было применить закон Ома, необходимо знать потенциалы узлов схемы. Метод расчета электрических цепей, в котором за неизвестные принимают потенциалы узлов схемы, называют методом узловых потенциалов.

Допустим, что в схеме узлов. Так как любая (одна) точка схемы может быть заземлена без изменения токораспределения в ней, один из узлов схемы можно мысленно заземлить, т. е. принять потенциал его равным нулю. При этом число неизвестных уменьшается с до

Число неизвестных в методе узловых потенциалов равно числу уравнений, которые необходимо составить для схемы по первому закону Кирхгофа. В том случае, когда число узлов без единицы меньше числа независимых контуров в схеме, данный метод является более экономным, чем метод контурных токов.

Обратимся к схеме рис. 2.24, которая имеет довольно большое число ветвей (И) и сравнительно небольшое число узлов (4). Если узел 4 мысленно заземлить, т. е. принять то необходимо определить потенциалы только трех узлов: Для единообразия в обозначениях условимся в § 2.22 токи писать с двумя индексами: первый индекс соответствует номеру узла, от которого ток утекает, второй индекс — номеру узла, к которому ток подтекает. Проводимости ветвей также будут снабжаться двумя индексами.

Рис. 2.24

Необходимо заметить, что эти проводимости не имеют ничего общего с входными и взаимными проводимостями ветвей, которые рассматривались в § 2.15.

В соответствии с обозначениями токов на рис. 2.24 составим уравнение по первому закону Кирхгофа для первого узла:

или

Перепишем последнее уравнение следующим образом:

где

Подобные же уравнения могут быть записаны и для остальных узлов схемы. Если схема имеет узлов, то ей соответствует система из уравнений:

В общем случае — сумма проводимостей ветвей, сходящихся в узле — сумма проводимостей ветвей, непосредственно соединяющих узлы взятая со знаком минус. Если между какими-либо двумя узлами ветвь отсутствует, то соответствующая проводимость равна нулю. В формировании узлового тока -узла участвуют те ветви, подходящие к этому узлу, которые содержат источники ЭДС и (или) тока. Если ЭДС -ветви направлены к -узлу, то ее вклад в формирование равен , а если эта ЭДС направлена от -узла, то ее вклад составляет — . Если к -узлу подтекает ток от источника тока, то он должен быть введен в со знаком плюс, если этот ток от источника тока утекает, то он должен входить в со знаком минус. После решения системы (2.22) относительно потенциалов определяют токи в ветвях по закону Ома для участка цепи, содержащего ЭДС.

В том случае, когда в схеме имеются два узла, соединенных ветвью, в которой имеется ЭДС, а сопротивление ее равно нулю, перед составлением системы уравнений по методу узловых потенциалов один из этих узлов рекомендуется устранить в соответствии с приемом, рассмотренным в §2.24.

Система уравнений (2.22) может быть представлена в матричной форме записи:

(2.22а)

Ее решение

(2.22б)

Еще Максвеллом было установлено, что распределение токов в электрических цепях всегда происходит так, что тепловая функция системы

минимальна. Коэффициент 1/2 обусловлен тем, что при двойном суммировании мощность каждой ветви учитывается дважды. Доказательство основано на том, что совокупность уравнений (2.22) является совокупностью условий минимума функции Р, т. е. совокупностью условии — и т. д.

Так как вторые производные положительны, то это и является доказательством минимума тепловой функции Р.

Пример 23. Найти токи в ветвях схемы рис. 2.24 и сделать проверку по второму закону Кирхгофа. Дано: . Источник тока, включенный между узлами 3 и 2, дает ток .

Решение. Записываем систему уравнений:

Подсчитываем проводимости:

При подсчете учтено, что проводимость ветви с источником тока равна нулю (сопротивление источника тока равно бесконечности).

Узловые токи:

Система уравнений

имеет решение .

Заключительный этап расчета состоит в подсчете токов по закону Ома. Перед определением токов в ветвях схемы следует эти токи обозначить и выбрать для них положительные направления:

Сделаем проверку решения по второму закону Кирхгофа для периферийного контура.

Алгебраическая сумма падений напряжений .

Алгебраическая сумма ЭДС .

Покажем, что основная формула (2.20) метода двух узлов получается как частный случай (2.22). Действительно, если один узел схемы (рис. 2.23), например узел 6, заземлить, то остается найти только один потенциал Для получения формулы (2.20) из (2.22) следует положить