§ 8.11. Алгебраизация системы уравнений для свободных токов.

§ 8.3 говорилось о том, что свободный ток представляет собой Решение однородного дифференциального уравнения (уравнения без правой части). Как известно из курса математики, решение однородного дифференциального уравнения записывают в виде показательных функций .

Таким образом, уравнение для каждого свободного тока можно представить в виде

Постоянная интегрирования А для каждого свободного тока своя. Показатели же затухания одинаковы для свободных токов ветвей. Физически это объясняется тем, что вся цепь охвачена единым (общим) переходным процессом.

Составим производную от свободного тока:

Следовательно, - производную от свободного тока можно заменить на а свободное напряжение на индуктивном элементе, — на Найдем интеграл от свободного тока:

Постоянная интегрирования взята здесь равной нулю, так как свободные составляющие не содержат не зависящих от времени слагаемых.

Следовательно, интеграл от свободного тока можно заменить на а свободное напряжение на конденсаторе — на

В систему дифференциальных уравнений для свободных токов подставим вместо вместо Следовательно,

Уравнения (8.8) представляют собой систему алгебраических уравнений относительно и в отличие от исходной системы не содержат производных и интегралов.

Переход от системы линейных дифференциальных уравнений к системе алгебраических уравнений называют алгебраизацией системы дифференциальных уравнений для свободных токов. Можно сказать, что система (8.8) есть результат алгебраизации системы дифференциальных уравнений (8.7).