§ 10.2. Условия, которым должны удовлетворять входные сопротивления двухполюсников.

Если представить входное сопротивление двухполюсника в виде отношения двух полиномов, расположенных по убывающим степеням оператора ,

то должны выполняться следующие пять условий:

1) все коэффициенты а и b в числителе и знаменателе должны быть неотрицательны (в дальнейшем будет ясно, что условие 1 вытекает из условия 3);

2) наивысшая (наименьшая) степень полинома числителя не может отличаться от наивысшей (наименьшей) степени полинома знаменателя более чем на единицу;

3) если условиться значения , при которых называть нулями функции а значения , при которых — полюсами то нули и полюсы должны быть расположены только в левой части плоскости

4) нули и полюсы, расположенные на мнимой оси плоскости р, должны быть только простые, не кратные;

5) если вместо в выражение подставить то при любом значении должно быть

Поясним эти требования. Из § 8.11 известно, что свободные процессы описываются слагаемыми вида и обязательно должны затухать во времени; — корни уравнения Но затухать свободные процессы (слагаемые вида могут только втом случае, когда действительная часть отрицательна. Отсюда следует, что нули уравнения должны обязательно находиться в левой части плоскости .

Поскольку каждому планарному двухполюснику соответствует дуальный, а входная проводимость дуального двухполюсника где k — некоторый коэффициент, имеющий размерность

Ом в квадрате (см. § 3.43), то входное сопротивление дуального двухполюсника равно Нули дуального двухполюсника, являющиеся полюсами исходного, также должны быть расположены в левой части плоскости .

Из курса математики известно, что если имеются два кратных корня уравнения то соответствующие им слагаемые в решении берут в виде Если допустить, что на мнимой оси могут быть два кратных корня то соответствующая им свободная составляющая нарастала бы до бесконечности, чего физически быть не может. Коэффициенты а и b в числителе и заменателе Z(p) должны быть положительны. Если бы это условие нарушилось, то на основании леммы, вытекающей из теоремы Гурвица (см. § 17.2), среди корней уравнения появились бы корни с положительной действительной частью.

Поясним, почему степень не может отличаться от степени более чем на единицу. Допустим, что степень больше степени на два. Тогда является нулем второй кратности для Z(p), а то, что происходит при можно считать происходящим на мнимой оси плоскости (мнимая ось простирается в бесконечность). Но тогда на мнимой оси получается кратный корень, чего быть не может.

Проведя такое же рассуждение для дуального двухполюсника, убедимся, что степень не может быть больше степени более чем на единицу.

Если в Z(p) вместо подставить то будет представлять собой комплексное сопротивление двухполюсника в установившемся синусоидальном режиме при частоте со, — действительную часть входного сопротивления. В том случае, когда двухполюсник содержит резистивные сопротивления, его потребляет активную мощность Если же двухполюсник чисто реактивный, то . В общем случае для пассивного двухполюсника всегда должно быть .

В литературе по синтезу цепей иногда пользуются термином «положительная действительная (вещественная) функция». Под ней понимают функцию: 1) действительная часть которой положительна, если положительна действительная частьр; 2) действительная при действительном (не комплексном) . Поскольку Z(p) этим свойствам удовлетворяет, оно является положительной действительной функцией.

Пример 111. Задано несколько выражений вида N(p)/M(p). Выяснить, могут ли они представлять собой входные сопротивления некоторых двухполюсников:

Решение. Первое выражение не может представлять собой Z(p), так как один из коэффициентов в числителе отрицателен. Второе и третье выражения также не могут представлять собой Z(p): второе потому, что максимальная степень в знаменателе больше максимальной степени числителя на два, третье потому, что

при значениях от 0,707 до 1 отрицательно. Четвертое выражение всем требованиям удовлетворяет и потому может представлять собой Z(p) некоторого двухполюсника.

Кроме названных общих свойств перечислим свойства двухполюсников, состоящих только из R и С, только из R и L и только из L и С. Двухполюсники типа RC и RL имеют чередующиеся простые нули и полюсы на отрицательной вещественной оси плоскости . Для -двухполюсников ближайшей особой точкой к началу координат является полюс, в бесконечности полюс отсутствует. Для двухполюсников типа ближайшей к началу координат особой точкой является нуль, при полюс отсутствует. Двухполюсники типа LC имеют чередующиеся простые нули и полюсы на мнимой оси. Степени полиномов числителя и знаменателя отличаются на единицу.

Нули и полюсы Z(p) можно изобразить условными значками из комплексной плоскости, скажем, нули кружками, полюсы крестиками. Полученную картину называют картой нулей и полюсов. Эта карта наглядно характеризует частотные свойства двухполюсника и реакцию его при воздействии единичного напряжения.

По расположению и количеству нулей на ней можно определить число апериодических и колебательных компонент, которое содержит свободная составляющая, и быстроту затухания той или иной из них во времени. Чем ближе к мнимой оси расположены нули, тем медленнее затухает соответствующая им свободная составляющая.

Существует несколько способов реализации двухполюсников по заданной Z{p), удовлетворяющей перечисленным в § 10.2 условиям. Три основных способа реализации рассмотрены в § 10.3 — 10.5.