§ 16.7. Метод малого параметра.

Нелинейные дифференциальные уравнения иногда решают путем последовательных приближений, представляя искомую величину х в виде ряда по степеням некоторого коэффициента который называют малым параметром:

(16.28)

где — решение уравнения нулевого приближения (последнее получают из исходного, полагая, что все нелинейные члены в исходном уравнении отсутствуют); — решение уравнения первой поправки, которая учитывает влияние нелинейных членов в первом приближении; — решение уравнения второй поправки, и т. д.

Если исходное уравнение является дифференциальным уравнением второго или более высокого порядка, а принужденный режим представляет собой колебательный процесс, то квадрат угловой частоты первой гармоники или первую степень о также разлагают в ряд по малому параметру:

где — квадрат угловой частоты в нулевом приближении, когда всеми нелинейными членами пренебрегают; — поправка первого приближения, вызванная нелинейными членами уравнения; — поправка второго приближения, и т. д.

Последовательность решения рассмотрим на двух примерах.

1. При решить уравнение

(16.29)

К такому уравнению, например, сводится задача о переходном процессе в цепи, состоящей из индуктивной катушки с нелинейной ВАХ и линейного резистивного сопротивления, при подключении ее к источнику постоянного напряжения и при квадратичной аппроксимации зависимости потокосцепления от тока.

Линейные члены уравнения переносим в левую часть, а нелинейные, умножив на некоторый малый параметр — в правую (в примере ):

Представим решение (16.29) в виде ряда по степеням

Подставим (16.31) в (16.30):

(16.32)

Из (16.32) образуем систему уравнений, приравняв члены левой и правой частей его при одинаковых степенях

Проинтегрируем (16.33): .

Постоянную определили из начальных условий.

Подставим в уравнение (16.34) и проинтегрируем его:

Для первой поправки начальные условия также нулевые, поэтому Подставим значения в (16.35):

В соответствии с (16.31)

(16.36)

Аналогичным путем можно было бы получить и последующие члены ряда (16.31). Так как уравнение (16.29) имеет точное решение то, взяв в разложении три первых члена ряда, можно убедиться, что они совпадают с правой частью (16.36).

2. Решить уравнение для лампового генератора (вывод уравнения см. в примере 164 при начальных условиях )

(16.37)

Коэффициент при нелинейном члене в дальнейшем будем считать малым параметром и обозначим . В соответствии с предыдущим

(16.38)

В уравнении (16.37) вместо подставим правую часть (16.38) и вместо :

(16.39)

Образуем из (16.39) три уравнения, соответствующие в нулевой, первой и второй степенях:

(16.40)

Проинтегрируем (16.40): .

Подставив в (16.41) и учтя, что получим

Уравнение (16.43) можно трактовать следующим образом: на колебательный -контур без потерь [левая часть уравнения (16.43)] воздействуют вынуждающая сила с угловой частотой равной собственной частоте колебательного контура, и сила с угловой частотой, в три раза большей.

Известно, что если подключить колебательный -контур, имеющий активное сопротивление , к источнику синусоидальной ЭДС при оговоренных условиях, то амплитуда тока в цепи будет нарастать до бесконечности. Действительно,

При

Разложим в ряд и, учитывая малость 6, возьмем два первых члена ряда. В результате получим .

Такие члены в решении дифференциальных уравнений, амплитуды которых нарастают теоретически до бесконечности при увеличении времени t, называют вековыми. При дальнейшем решении уравнения (16.43) необходимо помнить о том, что амплитуды вековых членов должны оказаться равными нулю при любом .

Решение (16.43) запишем следующим образом:

(16.44)

Первое и второе слагаемые представляют собой полное решение однородного уравнения; четвертое и пятое — частное решение неоднородного уравнения. Третье слагаемое представляет собой вековой член.

Его можно было бы не вводить в дальнейшие выкладки по определению коэффициентов однако введем его, чтобы показать, что его присутствие выкладкам не помешает.

Дважды продифференцируем (16.44) по времени:

(16.45)

Подставим (16.44) и (16.45) в (16.43), выделим из левой и правой частей (16.43) слагаемые соответственно с [формула (16.46)], [формула (16.47)], [формула (16.48)], [формула (16.49)]:

(16.46)

Слагаемые (16.43) с вековыми членами дают нуль:

(16.50)

Используем также заданные начальные условия для определения Так как начальные условия уже были удовлетворены при определении то для всех последующих приближений начальные условия нулевые. Имея это в виду, из (16.44) находим .

В соответствии с поэтому . Из уравнения (16.44), используя условие , получим

Но и F, известны из (16.44) и (16.48), поэтому

Поправку на угловую частоту а вместе с тем и значение найдем исходя из того, что амплитуда векового члена должна быть равна нулю при любом Отсюда .

Из (16.47) следует, что , а из (16.46) — что :

Ограничившись первым приближением и перейдя от , получим

Первое приближение привело к изменению амплитуды первой гармоники с до и к появлению третьей гармоники.

Угловая частота первой гармоники в первом приближении не изменилась и равна угловой частоте нулевого приближения. Аналогичным образом производится и второе приближение. Однако каждое последующее приближение по сравнению с предыдущим более трудоемко.

В основу данного метода положены работы французского математика Пуанкаре по небесной механике. Метод называют методом малого параметра потому, что в нем производят разложение решения в ряд по степеням малого параметра. Насколько этот параметр должен быть мал в каждом примере, заранее сказать нельзя. Важно, чтобы ряды для х и для или сходились. Если ряды будут сходиться медленно или вообще не будут сходиться, то пользоваться этим методом не имеет смысла.