Главная > Теоретические основы электротехники
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 16.7. Метод малого параметра.

Нелинейные дифференциальные уравнения иногда решают путем последовательных приближений, представляя искомую величину х в виде ряда по степеням некоторого коэффициента который называют малым параметром:

(16.28)

где — решение уравнения нулевого приближения (последнее получают из исходного, полагая, что все нелинейные члены в исходном уравнении отсутствуют); — решение уравнения первой поправки, которая учитывает влияние нелинейных членов в первом приближении; — решение уравнения второй поправки, и т. д.

Если исходное уравнение является дифференциальным уравнением второго или более высокого порядка, а принужденный режим представляет собой колебательный процесс, то квадрат угловой частоты первой гармоники или первую степень о также разлагают в ряд по малому параметру:

где — квадрат угловой частоты в нулевом приближении, когда всеми нелинейными членами пренебрегают; — поправка первого приближения, вызванная нелинейными членами уравнения; — поправка второго приближения, и т. д.

Последовательность решения рассмотрим на двух примерах.

1. При решить уравнение

(16.29)

К такому уравнению, например, сводится задача о переходном процессе в цепи, состоящей из индуктивной катушки с нелинейной ВАХ и линейного резистивного сопротивления, при подключении ее к источнику постоянного напряжения и при квадратичной аппроксимации зависимости потокосцепления от тока.

Линейные члены уравнения переносим в левую часть, а нелинейные, умножив на некоторый малый параметр — в правую (в примере ):

Представим решение (16.29) в виде ряда по степеням

Подставим (16.31) в (16.30):

(16.32)

Из (16.32) образуем систему уравнений, приравняв члены левой и правой частей его при одинаковых степенях

Проинтегрируем (16.33): .

Постоянную определили из начальных условий.

Подставим в уравнение (16.34) и проинтегрируем его:

Для первой поправки начальные условия также нулевые, поэтому Подставим значения в (16.35):

В соответствии с (16.31)

(16.36)

Аналогичным путем можно было бы получить и последующие члены ряда (16.31). Так как уравнение (16.29) имеет точное решение то, взяв в разложении три первых члена ряда, можно убедиться, что они совпадают с правой частью (16.36).

2. Решить уравнение для лампового генератора (вывод уравнения см. в примере 164 при начальных условиях )

(16.37)

Коэффициент при нелинейном члене в дальнейшем будем считать малым параметром и обозначим . В соответствии с предыдущим

(16.38)

В уравнении (16.37) вместо подставим правую часть (16.38) и вместо :

(16.39)

Образуем из (16.39) три уравнения, соответствующие в нулевой, первой и второй степенях:

(16.40)

Проинтегрируем (16.40): .

Подставив в (16.41) и учтя, что получим

Уравнение (16.43) можно трактовать следующим образом: на колебательный -контур без потерь [левая часть уравнения (16.43)] воздействуют вынуждающая сила с угловой частотой равной собственной частоте колебательного контура, и сила с угловой частотой, в три раза большей.

Известно, что если подключить колебательный -контур, имеющий активное сопротивление , к источнику синусоидальной ЭДС при оговоренных условиях, то амплитуда тока в цепи будет нарастать до бесконечности. Действительно,

При

Разложим в ряд и, учитывая малость 6, возьмем два первых члена ряда. В результате получим .

Такие члены в решении дифференциальных уравнений, амплитуды которых нарастают теоретически до бесконечности при увеличении времени t, называют вековыми. При дальнейшем решении уравнения (16.43) необходимо помнить о том, что амплитуды вековых членов должны оказаться равными нулю при любом .

Решение (16.43) запишем следующим образом:

(16.44)

Первое и второе слагаемые представляют собой полное решение однородного уравнения; четвертое и пятое — частное решение неоднородного уравнения. Третье слагаемое представляет собой вековой член.

Его можно было бы не вводить в дальнейшие выкладки по определению коэффициентов однако введем его, чтобы показать, что его присутствие выкладкам не помешает.

Дважды продифференцируем (16.44) по времени:

(16.45)

Подставим (16.44) и (16.45) в (16.43), выделим из левой и правой частей (16.43) слагаемые соответственно с [формула (16.46)], [формула (16.47)], [формула (16.48)], [формула (16.49)]:

(16.46)

Слагаемые (16.43) с вековыми членами дают нуль:

(16.50)

Используем также заданные начальные условия для определения Так как начальные условия уже были удовлетворены при определении то для всех последующих приближений начальные условия нулевые. Имея это в виду, из (16.44) находим .

В соответствии с поэтому . Из уравнения (16.44), используя условие , получим

Но и F, известны из (16.44) и (16.48), поэтому

Поправку на угловую частоту а вместе с тем и значение найдем исходя из того, что амплитуда векового члена должна быть равна нулю при любом Отсюда .

Из (16.47) следует, что , а из (16.46) — что :

Ограничившись первым приближением и перейдя от , получим

Первое приближение привело к изменению амплитуды первой гармоники с до и к появлению третьей гармоники.

Угловая частота первой гармоники в первом приближении не изменилась и равна угловой частоте нулевого приближения. Аналогичным образом производится и второе приближение. Однако каждое последующее приближение по сравнению с предыдущим более трудоемко.

В основу данного метода положены работы французского математика Пуанкаре по небесной механике. Метод называют методом малого параметра потому, что в нем производят разложение решения в ряд по степеням малого параметра. Насколько этот параметр должен быть мал в каждом примере, заранее сказать нельзя. Важно, чтобы ряды для х и для или сходились. Если ряды будут сходиться медленно или вообще не будут сходиться, то пользоваться этим методом не имеет смысла.

1
Оглавление
email@scask.ru