§ 8.13. Составление характеристического уравнения путем использования выражения для входного сопротивления цепи на переменном токе.

Характеристическое уравнение для определения часто составляют более простым способом, чем обсуждавшийся в предыдущем параграфе. С этой целью составляют выражение входного сопротивления двухполюсника на переменном токе [обозначим его заменяют в нем на [получают и приравнивают нулю.

Уравнение совпадает с характеристическим. Такой способ составления характеристического уравнения предполагает, что в схеме отсутствуют магнитно-связанные ветви. Если же магнитная связь между ветвями имеется, то предварительно следует осуществить развязывание магнитно-связанных ветвей (см. § 3.41).

Поясним сказанное. Какотмечалось если для некоторой цепи на постоянном токе составить систему уравнений по методу контурных токов, то входная проводимость относительно -ветви , а входное сопротивление Для режима синусоидального тока входное сопротивление

Комплексное число в соответствии с § 8.41 представим в виде где Q — комплексная угловая частота. Сопротивление — это сопротивление цепи на комплексной частоте; — это частный случай когда Имея это в виду, запишем

где — определитель системы уравнений, составленных по методу контурных токов.

Таким образом, уравнение имеет те же корни, что и уравнение .

При составлении следует учитывать внутреннее сопротивление источника питания.

Характеристическое уравнение можно составить так же, взяв за основу не метод контурных токов, а метод узловых потенциалов. В этом случае следует приравнять нулю определитель матрицы узловых проводимостей, полагая при составлении матрицы один из узлов схемы заземленным.

Пример 77. Для схемы рис. 8.4, а составить характеристическое уравнение. Решение. Входное сопротивление относительно зажимов при переменном

Заменим в нем на и приравняем его нулю:

Отсюда

или

Уравнение совпадает с уравнением (8.10), составленным иным путем, и получено оно путем использования выражения для входного сопротивления первой ветви схемы рис. 8.4, а относительно зажимов Точно такое же уравнение можно получить, если записать выражение для входного сопротивления любой другой ветви.

Следует иметь в виду, что во избежание потери корня (корней) нельзя сокращать на общий множитель, если он имеется. Однако на общий Множитель сокращать как правило, возможно, но не всегда. Сокращение на допустимо для схем, в которых исследуемая величина из физических соображений не может содержать незатухающую свободную составляющую. Если же исследуемая величина в рассматриваемой схеме может иметь незатухающую свободную составляющую, то сокращать числитель и знаменатель на (терять корень ) нельзя. Для иллюстрации недопустимости сокращения на рассмотрим два примера. В послекоммутационной схеме рис. 8.4, б имеется контур из индуктивных элементов, активное сопротивление которого равно нулю. В нем теоретически может протекать незатухающая свободная составляющая тока, которая не будет учтена в решении, если сократить числитель и знаменатель на . В схеме рис. 8.4, в, дуальной схеме рис. 8.4, б после коммутации на конденсаторах возможно возникновение равных по значению и противоположно направленных незатухающих свободных составляющих напряжений. Свободный заряд каждого конденсатора не сможет стечь через сопротивление R, так как этому мешает второй конденсатор с противоположно направленной незатухающей свободной составляющей напряжения.

Для схемы рис. 8.4, в характеристическое уравнение получим, приравняв нулю входную проводимость относительно зажимов источника тока:

где

В качестве примера цепи, для которой можно сокращать числитель и знаменатель на , приведем схему рис. 8.4, г. Для нее