§ 16.4. Расчет методом кусочно-линейной аппроксимации.

При расчете этим методом осуществляется замена характеристики нелинейного элемента отрезками прямых линий, что позволяет перейти от нелинейного дифференциального уравнения к нескольким линейным уравнениям, отличающимся друг от друга лишь значениями коэффициента.

Каждое из линейных уравнений справедливо для того интервала времени, в течение которого рабочая точка перемещается по соответствующему линеаризованному участку. Метод применим к цепям, содержащим источники постоянной и (или) синусоидальной ЭДС, а также к цепям первого и более высоких порядков.

Для сложных нелинейных цепей с источником (источниками) синусоидальной ЭДС основная трудность расчета данным методом заключается в определении постоянных интегрирования, исходя из законов коммутации и времени работы на каждом линейном участке. В сложных цепях неизвестные находят обычно из трансцендентных уравнений, часто применяют ЭВМ. Впервые идея этого метода была высказана русским физиком Н. Д. Папалекси в 1912 г.

Рассмотрим основные этапы расчета на простейшем примере.

Пример 162. Конденсатор емкостью С заряжается через HP от источника постоянного напряжения U (рис. 16.3, а). Определить закон изменения тока в цепи при зарядке.

Рис. 16.3

Решение. ВАХ HP заменим двумя отрезками прямых линий (рис. 16.3, б). Пусть на участке от до где — напряжение на нелинейном резисторе; — коэффициент. На участке

Размерность коэффициентов соответствует размерности сопротивления.

В уравнение цепи вместо подставим — заменим для первого участка на а для второго — на

При зарядке конденсатора ток постепенно уменьшается от максимального значения до нуля. Поэтому изображающая точка перемещается сначала по первому участку, а затем по второму.

Для первого участка — ;

для второго — ;

Для первого участка .

Постоянную интегрирования найдем из начального условия: Поэтому Следовательно, при работе на первом участке

Пусть при ток Подставим в (16.5) вместо i и вместо t и решим полученное уравнение относительно

При работе на втором участке причем .