§ 12.2. Исходные уравнения и их решение.

Из уравнений (11.1) и (11.4) при следует, что

Ток и напряжение являются функциями двух переменных: расстояния от начала линии и времени t. Продифференцируем (12.1) по х и (12.2) по t:

В соответствии с (12.4) в правую часть (12.3) вместо подставим — и обозначим :

Из предыдущего [см. § 11.10, формула (11.39)] известно, что есть скорость распространения электромагнитной волны по линии. Если уравнение (12.2) продифференцировать по а (12.1) — по t и в правую часть продифференцированного уравнения (12.2) подставить правую часть продифференцированного уравнения (12.1), то получим

Уравнения (12.5) и (12.6) — это уравнения второго порядка в частных производных. Из курса математики известно, что уравнения такого вида называют волновыми.

Решением уравнения (12.5) является сумма любых функций причем аргументом функции является (), а аргументом функции —

Для сокращения записи в дальнейшем будем обозначать:

Следовательно,

(12.10)

где индексы означают отраженная и падающая (волны).

Вид функций определяется граничными условиями в начале и конце линии. Функции в общем случае должны позволять дважды дифференцировать их по

Подстановка функций в (12.5) дает тождество.

Решение уравнения (12.6):

(12.11)

Для сокращения записи обозначим:

(12.12)

Тогда

(12-14)