§ 2.30. Основные свойства матриц и простейшие операции с ними.

Матрица — это совокупность чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы. Чтобы отличать матрицу по внешнему виду от определителя, ее заключают в квадратные скобки. Каждый элемент матрицы снабжают двумя индексами: первый соответствует номеру строки, второй — номеру столбца.

Матрицу называют квадратной, если число строк в ней равно числу столбцов

Диагональной называют матрицу, у которой элементы главной диагонали не равны нулю, а все остальные — нули, например:

Матрицу, у которой элементы главной диагонали равны единице, а все остальные — нули, называют единичной:

Неопределенной называют матрицу, у которой сумма элементов любой строкй и любого столбца равна нулю. 7

Две матрицы равны, если равны соответствующие элементы этих матриц.

Матрица равна матрице

У равных матриц равны определители. В рассматриваемом примере но из равенства двух определителей еще не следует равенства самих матриц. Операции над матрицами (их сложение, умножение) постулированы из соображений рациональности.

При сложении (вычитании) матриц следует сложить (вычесть) соответствующие элементы этих матриц:

При умножении двух матриц (число столбцов первой должно быть равно числу строк второй) i-ю строку первой матрицы умножают на k-й столбец второй. Умножим две матрицы, элементами которых являются числа

Руководствуясь приведенным правилом, нетрудно убедиться в том, что т. е. результирующая матрица зависит от последовательности расположения матриц сомножителей. По отношению к матрице когда ее определитель не равен нулю, можно составить обратную матрицу Для этого необходимо: а) каждый элемент исходной матрицы [А] заменить его алгебраическим дополнением; б) транспонировать полученную матрицу, т. е. строки сделать столбцами; в) разделить полученную матрицу на определитель исходной матрицы [А].

Пример 28. Составить для

Решение. Заменив элементы на алгебраические дополнения, получим матрицу После транспонирования имеем .Следовательно,

Произведение

Для решения уравнения [А][В]=[С] относительно матрицы [В] следует обе части этого уравнения умножить на и учесть, что . В результате получим . В матричном уравнении можно переставлять столбцы в матрице при одновременной перестановке строк в матрице[А].