§ 7.5. Графический (графоаналитический) метод определения гармоник ряда Фурье.

Графический метод определения гармоник ряда Фурье основан на замене определенного интеграла суммой конечного числа слагаемых. С этой целью период функции равный разбивают на равных частей и интегралы заменяют суммами.

По определению, постоянная составляющая

или

— текущий индекс, принимающий значения от — значение функции при т. е. в середине р-го интервала.

Таблица 7.1

Амплитуда синусной составляющей -гармоники ряда

или

амплитуда косинусной составляющей -гармоники

Рис. 7.3

где — соответственно значения функций и при т. е. в середине интервала.

При расчетах по (7.5) — (7.7) обычно достаточно разделить период на или 18 частей, а в некоторых случаях и на меньшее число.

Перед тем как производить графическое разложение в ряд, необходимо выяснить, не обладает ли раскладываемая функция симметрией относительно осей координат (см. § 7.3). Наличие того или иного вида симметрии позволяет до проведения разложения предсказать, какие гармоники следует ожидать. Так, если кривая симметрична относительно оси абсцисс, то постоянная составляющая и все четные гармоники отсутствуют, а вычисляя при нечетных k, следует учесть, что за первый полупериод равна сумме за второй полупериод.

Знак углов в формуле (7.4) зависит от знаков При построении гармоник на общем графике необходимо учитывать, что масштаб по оси абсцисс для гармоники должен быть взят в k раз большим, чем для первой гармоники.

Так, например, если некоторый отрезок на оси абсцисс для первой гармоники выражает собой угол , то тот же отрезок для третьей гармоники выражает собой угол, в 3 раза больший, т. е. .

Пример 64. Найти первую и третью гармоники функции изображенной на рис. 7.3, а. Значения ординат функции за первый полупериод при разбивке периода на части следующие:

Решение. Так как кривая симметрична относительно оси абсцисс, и ряд будет состоять только из нечетных гармоник.

Амплитуда синусной составляющей первой гармоники

Амплитуда косинусной составляющей первой гармоники

Амплитуда синусной составляющей третьей гармоники

Амплитуда косинусной составляющей третьей гармоники

Амплитуда первой гармоники . Тангенс угла на который начало первой гармоники смещено относительно начала кривой ,

Амплитуда третьей гармоники

Следовательно, если ограничиться третьей гармоникой, то .

На рис. 7.3, б изображены первая и третья гармоники полученного ряда, а также результирующая (суммарная) кривая. Ее можно сопоставить с кривой на рис. 7.3, а.