§ 15.13. Аппроксимация симметричных характеристик для мгновенных значений гиперболическим синусом.

При исследовании свойств электрических цепей явлением гистерезиса, как правило, можно пренебречь. Лишь при исследовании цепей, в основе действия которых лежит это явление (например, работы запоминающих магнитных устройств с прямоугольной петлей гистерезиса), гистерезис необходимо учитывать.

На рис. 15.11, а изображена типичная симметричная характеристика у = f(x).

Для нелинейной индуктивности роль х играет мгновенное значение индукции роль у — мгновенное значение напряженности поля Н. Для нелинейного конденсатора у — это напряжение — заряд q. Для нелинейных резисторов (например, тиритовых сопротивлений) роль х играет напряжение, у — ток.

Существует большое число различных аналитических выражений, в той или иной мере пригодных для аналитического описания характеристик нелинейных элементов [20]. При выборе наиболее подходящего аналитического выражения для функции у = f(x) исходят не только из того, что кривая, описываемая аналитическим выражением, должна достаточно близко всеми своими точками расположиться к опытным путем полученной кривой в предполагаемом диапазоне перемещений рабочей точки на ней, но учитывают и те возможности, которые выбранное аналитическое выражение дает при анализе свойств электрических цепей.

Рис. 15.11

В дальнейшем для аналитического описания симметричных характеристик по типу рис. 15.11, а будем пользоваться гиперболическим синусом:

(15.1)

В этом выражении — числовые коэффициенты; а выражается в тех единицах, что — в единицах, обратных единицам так что произведение есть величина безразмерная. Для определения неизвестных коэффициентов следует на полученной опытным путем зависимости у = f(x) в предполагаемом рабочем диапазоне произвольно выбрать две наиболее характерные точки, через которые должна пройти аналитическая кривая, подставить координаты этих точек в уравнение (15.1) и затем решить систему из двух уравнений с двумя неизвестными.

Пусть координаты этих точек (рис. 15.11, а). Тогда

Отношение

Трансцендентное уравнение (15.2) служит для определения коэффициента . Следовательно,

Пример 147. Кривая намагничивания трансформаторной стали изображена на рис. 15.11, б. Найти коэффициенты а и .

Решение. Выбираем две точки на кривой:

По уравнению (15.2) имеем Задаемся произвольными значениями и производим подсчеты:

По результатам подсчетов строим кривую и по ней находим . Далее определяем

Пунктирная кривая на рис. 15.11, б построена по уравнению . § 15.14. Понятие о функциях Бесселя. При анализе нелинейных цепей широко используют функции Бесселя, которые являются решением уравнения Бесселя

Функции Бесселя выражают степенными рядами и для них составлены таблицы. Функцию Бесселя от аргумента обозначают , где — порядок функции Бесселя. Общее выражение для в виде степенного ряда можно записать так:

Таблица 15.1

Для гл. 15 наибольший интерес представляют функции Бесселя от чисто мнимого аргумента (табл. 15.1). Для их получения в общее выражение (15.5) вместо следует подставить где Обратим внимание на то, что в табл. 15.1 даны функция — вместо и функция вместо .

Рис. 15.12

Сделано это потому, что без дополнительного множителя j или —j эти функции, как правило, не используют.

При х = 0 не равна нулю только функция Бесселя нулевого порядка:

Поданным табл. 15.1 на рис. 15.12 построены кривые функции Бесселя. Из таблицы и рис. 15.12 видно, что с ростом х значения функций увеличиваются. Чем выше порядок функции Бесселя, тем меньше ее значение при одном и том же х.