Источники воздействий (источники ЭДС и тока) будем именовать z. Матрица-столбец источников воздействий 
Для электрических цепей можно составить матричные уравнения вида (программа решения на ЭВМ уравнения (8.67) приведена в [23]).
где 
— некоторые матрицы, определяемые структурой цепи и значениями ее параметров.
На основании принципа наложения решение (8.67)
где 
— матрица начальных значений х.
Первое слагаемое в формуле (8.69) описывает свободные процессы в системе, второе — принужденные и свободные при нулевом исходном состоянии [вывод формулы (8.69) см. в конце параграфа]. Из (8.68) и (8.69) находим
Поясним формулу (8.69) на простом примере. Ток в схеме рис. 8.42 до коммутации был 
Уравнение состояния для этой схемы 
, т. е.
Рис. 8.42
Матричную функцию 
в формуле (8.69) вычисляют по формуле (теореме) Сильвестра [13]:
где
- собственные значения (характеристические числа) квадратной матрицы 
т. е. корни уравнения
Из уравнения (8.73) следует, что уравнение относительно X составляют, приравнивая нулю определитель матрицы 
в котором все элементы этой матрицы 
расположенные по главной диагонали, заменяют на элементы 
.
Характеристические числа к — это не что иное, как корни характеристического уравнения послекоммутационной схемы. Запись решения в виде ряда (8.71) предполагает, что все характеристические числа различны (нет кратных корней). Если же среди корней уравнения 
будет кратный корень 
кратности s, то составляющая 
обусловленная этим корнем, имеет вид
где 
- присоединенная матрица к матрице 
. В ней все элементы 
заменены на алгебраические дополнения, а затем проведено транспонирование. Составляющие решения по формуле (8.74) соответствуют части решения по формуле разложения (см. § 8.50), учитывающей кратные корни. При машинном счете функцию 
подсчитывают разложением в ряд:
Пример 106. Методом пространства состояний исследовать переходный процесс в схеме рис. 8.43, а. До коммутации был установившийся режим; 
.
Рис. 8.43
Решение. Обозначим токи и напряжения в соответствии с рис. 8.43, а. До коммутации
В качестве переменных состояний выбираем ток 
и напряжение на конденсаторе 
.
Известно несколько способов составления уравнений состояния. Рассмотрим наиболее целесообразный, основанный на сведении послекоммутационной схемы к резистивной с источниками ЭДС и тока. С этой целью индуктивные элементы в послекоммутационной схеме заменяем на источники тока, которые доставляют ток в том же направлении, что и в исходной схеме (в рассматриваемом примере L заменяем на источник тока 
с напряжением на нем 
), а конденсатор С — на источник ЭДС, причем в соответствии с теоремой конденсации ЭДС этого источника должна быть направлена встречно току в ветви с конденсатором, т. е. встречно напряжению 
на конденсаторе (в рассматриваемом примере конденсатор С с напряжением на нем 
заменен на источник ЭДС 
).
В результате схема окажется без индуктивных и емкостных элементов (чисто резистивной), но с дополнительными источниками тока и ЭДС (рис. 8.43, б).
В полученной резистивной схеме один из узлов заземлим. Составим уравнения по методу узловых потенциалов и определим потенциалы незаземленных узлов. В рассматриваемом примере не заземлен всего один узел а. Поэтому
По известным потенциалам узлов рассчитаем напряжения на источниках гока 
, эквивалентирующих индуктивные элементы 
и токи 
через источники ЭДС, эквивалентирующие емкостные элементы емкостью 
Для первой ветви схемы рис. 8.43, б
Отсюда
Ток второй ветви 
можно определить по первому закону Кирхгофа или по закону Ома для участка цепи с источником ЭДС:
Следовательно, 
. Таким образом, уравнения переменных состояния для послекоммутационной схемы рис, 8 43, а таковы:
или
Составим уравнение для определения характеристических чисел 
.
Таким образом, 
. По формуле (8-72)
По формуле (8.69),
Выполнив подсчеты, получим
Если за выходную величину у принять напряжение 
между точками d и 
то
Поясним переход от (8.67) к (8.69).
Решение неоднородного уравнения (8.67) можно получить в виде суммы полного решения однородного уравнения и частного решения неоднородного. Полное решение однородного уравнения
где 
— постоянная величина, найдем по аналогии с решением скалярного дифференциального уравнения 
в виде
Подставив (8.76) в (8.75), убедимся в справедливости решения однородного уравнения (8.75). Функцию обозначим 
. Так как
В соответствии с методом вариации произвольных постоянных частное решение неоднородного уравнения представим в виде 
Общее решение
где R(t) нужно определить.
Подставим
в уравнение (8.67):
Поскольку 
есть матрица, столбцы которой являются решением уравнения (8.75), то первый член выражения (8.78) — нулевая матрица. Следовательно,
Проинтегрируем (8.79) от 
до 
Из уравнений (8.77) и (8.80) следует 8 81)
но 
. Умножая (8.81) слева на 
и учитывая, что
получим
Рис. 8.44
Полагая в (8.82) 
и заменяя затем переменную 
на 
, получим формулу (8.69).
Так как это некоторые функции времени, то их можно обозначить 
переменных состояния. Матрицу-столбец переменных состояния в 
-мерном пространстве состояний обозначим 
выходных величин (токи, напряжения) обозначим у, матрицу-столбец выходных величин 
