§ 12.11. Исходные положения по применению операторного метода к расчету переходных процессов в линиях.

В линии с распределенными параметрами ток i и напряжение и являются функциями времени и расстояния от начала линии, т. е. . Току i(x, t) соответствует операторное изображение , а напряжению — операторное изображение . Кроме того, имеют место соотношения Имея это в виду, запишем уравнения (11.1) и (11.4) в операторной форме:

(12-25)

где

(12.26)

Уравнения (12.24) и (12.27) отличаются от уравнений (11.7) и (11.8) тем, что заменено на комплексную частоту . Из (12.24) и (12.25) следует, что

(12.28)

Решение (12.28) и (12.29):

(12.30)

где — постоянные интегрирования, зависящие от граничных условий.

Рис. 12.9

Постоянная распространения и волновое сопротивление являются функциями комплексной частоты :

(12.32)

Если линия бесконечно протяженная, то отраженная волна отсутствует где — операторное изображение напряжения на входе линии (при ). В этом случае

(12.34)

На рис. 12.9 изображена линия длиной нагруженная на Напряжение в начале линии в конце линии Напряжение генератора Внутреннее сопротивление генератора — расстояние текущей точки на линии от начала линии. Операторное изображение напряжения и тока в точке запишем аналогично уравнениям (11.35) и (11.36), заменив в них на

Ток в нагрузке Положим и из (12.36а — б) получим

(12.37)

Напряжение генератора

Из (12.38) определим и затем и подставим их в (12.36):

(12.39)

Обозначим и введем эти обозначения в (12.39) и (12.40). Получим

(12.39а)

Поделив числитель на знаменатель формулы (12.39а), получим изображения падающих и отраженных волн напряжения в точке, удаленной на расстояние х от начала линии:

(12.396)

Аналогично, для тока:

(12.406)

Здесь

Нахождение функций времени, соответствующих уравнениям (12.396) и (12.406) с учетом того, что являются функциями р, в общем случае оказывается довольно громоздким делом. Поэтому ограничимся рассмотрением лишь нескольких задач.