§ 8.53. Интеграл Дюамеля.
Познакомимся с третьим методом расчета переходных процессов в линейных электрических цепях — расчетом с помощью интеграла Дюамеля.
При использовании интеграла Дюамеля переменную, по которой производится интегрирование, обозначим
, а под t по-прежнему будем понимать тот момент времени, в который требуется найти ток в цепи. Пусть к цепи с нулевыми начальными условиями в момент времени
подключается напряжение и
(рис. 8.36).
Для того чтобы найти ток в цепи в момент времени t, заменим плавную кривую ступенчатой и просуммируем токи от начального напряжения и (0) и от всех ступенек напряжения, вступающих в действие с запозданием во времени.
Напряжение
в момент времени t вызовет в цепи ток и
где g (
-переходная проводимость. В момент времени
(рис. 8.36) возникает скачок напряжения
Для того чтобы найти составляющую тока в момент времени t, вызываемую этим скачком напряжения А и, необходимо
умножить на значение переходной проводимости с учетом времени действия скачка до момента времени t. Из рис. 8.36 видно, что это время равно
. Следовательно, приращение тока от этого скачка составляет
.
Полный момент времени t получим, если просуммируем все частичные токи от отдельных скачков и прибавим их к току
Число членов суммы равно числу ступенек напряжения. Очевидно, что ступенчатая кривая тем лучше заменяет плавную кривую, чем больше число ступенек. С этой целью заменим конечный интервал времени
на бесконечно малый
и перейдем от суммы к интегралу:
Формулу (8.63) называют интегралом Дюамеля.
С помощью интеграла Дюамеля можно найти не только ток, но и любую другую физическую величину, например напряжение. В этом случае в формуле вместо переходной проводимости
будет входить переходная функция
если на входе цепи действует источник ЭДС (напряжения), и переходное сопротивление
если на входе цепи действует источник тока.