§ 8.53. Интеграл Дюамеля.

Познакомимся с третьим методом расчета переходных процессов в линейных электрических цепях — расчетом с помощью интеграла Дюамеля.

При использовании интеграла Дюамеля переменную, по которой производится интегрирование, обозначим , а под t по-прежнему будем понимать тот момент времени, в который требуется найти ток в цепи. Пусть к цепи с нулевыми начальными условиями в момент времени подключается напряжение и (рис. 8.36).

Для того чтобы найти ток в цепи в момент времени t, заменим плавную кривую ступенчатой и просуммируем токи от начального напряжения и (0) и от всех ступенек напряжения, вступающих в действие с запозданием во времени.

Напряжение в момент времени t вызовет в цепи ток и где g (-переходная проводимость. В момент времени (рис. 8.36) возникает скачок напряжения

Для того чтобы найти составляющую тока в момент времени t, вызываемую этим скачком напряжения А и, необходимо умножить на значение переходной проводимости с учетом времени действия скачка до момента времени t. Из рис. 8.36 видно, что это время равно . Следовательно, приращение тока от этого скачка составляет .

Полный момент времени t получим, если просуммируем все частичные токи от отдельных скачков и прибавим их к току

Число членов суммы равно числу ступенек напряжения. Очевидно, что ступенчатая кривая тем лучше заменяет плавную кривую, чем больше число ступенек. С этой целью заменим конечный интервал времени на бесконечно малый и перейдем от суммы к интегралу:

Формулу (8.63) называют интегралом Дюамеля.

С помощью интеграла Дюамеля можно найти не только ток, но и любую другую физическую величину, например напряжение. В этом случае в формуле вместо переходной проводимости будет входить переходная функция если на входе цепи действует источник ЭДС (напряжения), и переходное сопротивление если на входе цепи действует источник тока.