§ 3.4. Изображение синусоидально изменяющихся величин векторами на комплексной плоскости. Комплексная амплитуда. Комплекс действующего значения.

На рис. 3.2 дана комплексная плоскость, на которой можно изобразить комплексные числа. Комплексное число имеет действительную (вещественную) и мнимую части. По оси абсцисс комплексной плоскости откладывают действительную часть комплексного числа, а по оси ординат — мнимую часть. На оси действительных значений ставим , а на оси мнимых значений .

Из курса математики известна формула Эйлера

Комплексное число изображают на комплексной плоскости вектором, численно равным единице и составляющим угол а с осью вещественных значений (осью +1). Угол а отсчитываем против часовой стрелки от оси +1.

Рис. 3.2.

Рис. 3.3.

Модуль функции

Проекция функции на ось равна , а на ось равна . Если вместо функции взять функцию то

На комплексной плоскости эта функция, так же как и функция изображается под углом а коси но длина вектора будет в раз больше.

Угол а в формуле (3.8) может быть любым. Положим, что т. е. угол а изменяется прямо пропорционально времени. Тогда

Слагаемое представляет собой действительную часть выражения

а функция есть коэффициент при мнимой части выражения

(3.10а)

Таким образом, синусоидально изменяющийся ток и (3.10а)] можно представить как или, что то же самое, как проекцию вращающегося вектора на ось (рис. 3.3).

Исторически сложилось так, что в радиотехнической литературе за основу обычно принимают не синусоиду, а косинусоиду и потому пользуются формулой (3.10).

С целью единообразия принято на комплексной плоскости изображать векторы синусоидально изменяющихся во времени величин для момента времени При этом вектор

где — комплексная величина, модуль которой равен — угол, под которым вектор проведен к оси на комплексной плоскости, равный начальной фазе.

Величину называют комплексной амплитудой тока i. Комплексная амплитуда изображает ток i на комплексной плоскости для момента времени Точка, поставленная над током или напряжением U, означает, что эта величина во времени изменяется синусоидально.

Поясним сказанное. Пусть ток . Запишем выражение для комплексной амплитуды этого тока. В данном случае .

Следовательно, . Пусть комплексная амплитуда тока .

Запишем выражение для мгновенного значения этого тока.

Для перехода от комплексной амплитуды к мгновенному значению умножим на и возьмем коэффициент при мнимой части от полученного произведения [см. формулу (3.10а)]:

Под комплексом действующего значения тока или комплексом тока (комплексным током) понимают частное отделения комплексной амплитуды на

Пример 29. Записать выражение комплекса действующего значения тока

Решение. Комплекс действующего значения тока .