§ 10.10. Аппроксимация частотных характеристик.

Аппроксимация — это приближенная замена заданной частотной зависимости другой частотной зависимостью, которая точно совпадает с заданной в ограниченном числе точек, отклоняется от нее в допустимых пределах вне этих точек, давая в то же время физически реализуемую функцию. Например, кривая рис. 10.13, а — это частотная характеристика идеального фильтра НЧ где передаточная функция; где — безразмерная величина, равная частоте среза.

В диапазоне изменения от 0 до при Пунктирная кривая 1 рис. 10.13, б повторяет кривую рис. 10.13, а, кривая 2 характеризует гладкую аппроксимацию, при которой отклонение от кривой 1 неодинаково в диапазоне аппроксимации. Кривая 3 иллюстрирует равноволновую аппроксимацию, при которой абсолютные значения максимальных отклонений от средней линии в обе стороны одинаковы. Гладкую аппроксимацию осуществляют обычно пблиномами Баттерворта, равноволновую — полиномами Чебышева. Известны и другие способы аппроксимации [9, 17], у каждого из них имеются свои достоинства и недостатки.

Гладкая аппроксимация. Применительно к фильтру НЧ аппроксимацию квадрата модуля передаточной функции четырехполюсника осуществляют так:

Принимают, что при откуда Полагая найдем полюсы

При нечетных при четных

Полюсы расположены симметрично по окружности единичного радиуса. Полиномы () образуют знаменатель и называются полиномами Баттерворта. При составлении их используют значения , находящиеся только в левой полуплоскости. Это обеспечивает физическую осуществимость . Запишем полиномы при при при

Задаваясь требуемым затуханием фильтра в децибелах (обычно при определим :

Рис. 10.14

Например, при . В рассматриваемом примере

Функцию K(р) реализуют известными методами.

Равноволновая аппроксимация. Полиномы Чебышева порядка записывают в тригонометрической форме:

Полагая и имея в виду, что , а получим алгебраическую форму записи полиномов:

Например, при

В интервале колеблется от 1 до —1 (рис. 10.14, а). При монотонно возрастает.

Квадрат модуля нормированной передаточной функции фильтра НЧ с помощью полиномов Чебышева аппроксимируют так:

Максимальное отклонение от 1 равно

При т. е. в области затухания фильтра НЧ,

Примерный вид аппроксимирующей кривой показан на рис. 10.14, б. Для заданного отклонения у и затухания а в децибелах при полинома Чебышева определяют по формуле

Например, для при Принимаем

Для составления следует определить полюсы находящиеся в левой полуплоскости. Подставим и приравняем нулю знаменатель

Так как — комплексное число, то — тоже комплексное число, которое положим равным Тогда

Отсюда

Так как

При этом

Так как то

Действительные и мнимые части полюсов лежащих в левой полуплоскости:

Из последней строчки следует, что т. е. полюсы расположены на эллипсе, одна полуось которого равна другая —

В рассматриваемом примере при

Для построения эллипса чертим две окружности одну радиусом другую радиусом и через начало координат проводим прямые до пересечения с окружностями под углами где . В примере .

Из точек пересечения лучей с окружностью меньшего радиуса проводим верти кали, а из точек пересечения с окружностью большего радиуса — горизонтали. Точки пересечения соответствующих горизонталей и вертикалей на левой полуплоскости дают искомые полюсы. В примере

Нормированная передаточная функция

Рис. 10.15

По определяют схему и ее нормированные параметры Таблицы полиномов знаменателя нормированного низкочастотных фильтров, аппроксимированных различными способами даны в [9,17]. Для перехода от нормированных к действительным параметрам L, С пользуются соотношениями и

Какому способу синтеза схемы и какой конкретной схеме следует отдать предпочтение, зависит не только от стоимости и габаритов при практическом осуществлении схемы, но и от того, насколько фазочастотные характеристики получающихся четырехполюсников удовлетворяют поставленной задаче.

В заключение отметим, что нормирование распространяется не только на передаточную функцию четырехполюсника, но и на другие функции, в частности на входное сопротивление или проводимость двухполюсников.

Если аппроксимируют не передаточную функцию, а входное сопротивление (проводимость) некоторого двухполюсника, то оно обычно нормируется не только по частоте но и по его числовому значению. При нормировании по числовому значению входное сопротивление (проводимость) делят на некоторую безразмерную величину При переходе от схемы, реализующей нормированное сопротивление (ее параметры и частота ), к той же схеме, но с ненормированными параметрами (ее сопротивление Z, а параметры R, L, С), последние определяют, сопоставив почленно одинаковые слагаемые и

В результате получим где — величина безразмерная.