§ 8.61. Дельта-функция, единичная функция и их свойства. Импульсная переходная проводимость.

Дельта-функцией или единичным импульсом (рис. 8.41, а) называют прямоугольный импульс амплитудой и длительностью при Единичным называют потому, что площадь его равна единице: . Размерность

Единичной функцией (рис. 8.41, б) называют функцию, равную единице при и равную нулю при . Единичная функция в) равна нулю при и единице при Функции имеют нулевую размерность. Свойства

1) из определения следует, что

Рис. 8.41

2) производная функции равна -функции:

3) -функция обладает фильтрующим действием:

4) изображение по Лапласу -функции равно 1:

на основании теоремы смещения.

Единичные функции также обладают фильтрующим действием. Умножение произвольной функции на обращает произведение в нуль при Аналогично,

Импульсное (игольчатое) напряжение или ток в виде -функции единичной площади записывают так: Здесь единица имеет размерность или соответственно.

В соответствии с рис. 8.41, а импульсное напряжение единичной площади, равное можно представить как сумму двух прямоугольных импульсов: импульса напряжения вступающего в действие при и импульса — (), вступающего в действие при .

При и нулевых начальных условиях ток на входе цепи при воздействии на нее напряжения в виде -функции Разложив в ряд Тейлора по степеням и учитывая малость получим

где импульсная переходная проводимость. Для моментов времени она численно равна току в цепи при воздействии на цепь напряжения в виде -функции.

Аналогично, импульсная переходная функция.

Для она численно равна напряжению на выходе четырехполюсника при воздействии на его вход импульса напряжения . В интервале времени от до (во время действия импульса) .

Наряду с понятиями переходная проводимость и импульсная переходная проводимость применяют дуальные им понятия: переходное сопротивление и импульсное переходное сопротивление Переходное сопротивление численно равно напряжению на входе цепи при воздействии на ее вход единичного тока:

Импульсное переходное сопротивление численно равно напряжению на входе цепи после того как на ее вход воздействовал импульс тока в виде -функции единичной площади:

Величины могут быть входными и взаимными, однако не являются взаимно обратными величинами; определяется при питании схемы от источника ЭДС, — при питании схемы от источника тока.

Подчеркнем, что в литературе по переходным процессам в зависимости от рассматриваемого вопроса под одним и тем же названием — импульсная переходная функция — понимают либо функцию h(t), либо . Между этими функциями имеется зависимость

характеризует реакцию четырехполюсника (его выходное напряжение) после окончания воздействия на его вход единичным импульсом напряжения — напряжение на выходе четырехполюсника и во время действия импульса и после окончания.

Аналогичные соотношения существуют между двумя импульсными переходными проводимостями

и между двумя импульсными переходными сопротивлениями

при воздействии на вход схемы единичным импульсом тока. С помощью интеграл Дюамеля запишется так:

Здесь

Формулу интеграла Дюамеля в математических работах называют формулой свертки двух функций в данном случае функций .