§ 3.42. Теорема о балансе активных и реактивных мощностей (теорема Лонжевена).
В любой линейной электрической цепи сумма активных мощностей источников ЭДС равна сумме активных мощностей приемников, а сумма реактивных мощностей источников ЭДС — сумме реактивных мощностей приемников энергии.
Пусть схема содержит 
узлов, 
ветвей и все ветви или часть их связаны друг с другом магнитно. По первому закону Кирхгофа сумма токов в любом узле равна нулю. Например, для 
-узла, в котором сходится 
-ветвей, 
или 
Умножим каждое слагаемое этой суммы на потенциал 
-узла 
Просуммируем аналогичные выражения для всех 
-узлов схемы:
В двойную сумму любой ток схемы, например ток 
входит дваждыи притом с разными знаками. Действительно, при 
слагаемое равно 
а при 
равно 
Так как 
то эти слагаемые можно объединить и получить 
Положим, что какая-то ветвь схемы, например ветвь 
магнитно связана с ветвью 
так, что сопротивление взаимоиндукции между ними (рис. 3.43).
В соответствии с рис. 3.43 для ветви 
Рис. 3.43
для ветви 
Если принять 
и учесть 
то сумма двух слагаемых 
Таким образом, попарное рассмотрение слагаемых двойной суммы позволяет переписать ее в виде
где 
— квадрат модуля тока ветви 
Левая и правая части формулы (3.60) представляют собой комплексы. Равенство действительных частей комплексов
равенство мнимых частей
(362)
В этом выражении 
принято положительным при согласном направлении потоков взаимоиндукции и самоиндукции ветвей 
и отрицательным при встречном их направлении. Формулы (3.61) и (3.62) являются математической записью сформулированной теоремы.
Пример 48. По данным примера 46 убедиться в справедливости теоремы о балансе мощности применительно к схеме рис. 3.40, а.
Решение. Активная мощность, доставляемая источником ЭДС,
Активная мощность, потребляемая приемниками, 
Следовательно, равенство активныхмощностей действительно выполнено. Реактивная мощность источника ЭДС 
Реактивная мощность приемников энергии с учетом согласного включения катушек
Таким образом, баланс реактивных мощностей тоже удовлетворяется.
