§ 17.2. Общие основы исследования устойчивости «в малом».

Общие основы исследования устойчивости «в малом» применимы ко всем или почти ко всем известным в настоящее время типам движения. В каждом конкретном случае возможны некоторые особенности при применении общих принципов.

Для исследования устойчивости исследуемой величине х (величинам) дают малое приращение , развертывают уравнение, описывающее процесс, в ряд по степеням малого приращения и ввиду малости отбрасывают все члены ряда, содержащие в степенях выше первой.

В полученном уравнении (уравнениях) выделяют слагаемые, содержащие и производные от по времени, и образуют из них дифференциальное уравнение (уравнения) относительно . Уравнение относительно алгебраизируют, получают характеристическое уравнение и определяют его корни.

Если хотя бы один корень характеристического уравнения положителен или положительна действительная часть комплексно-сопряженных корней, то это свидетельствует о том, что возникшее приращение А будет не убывать, а возрастать во времени, т. е. исследуемое движение является неустойчивым.

Если же все действительные корни характеристического уравнения отрицательны, а все комплексно-сопряженные корни имеют отрицательную действительную часть, то исследуемое движение является устойчивым.

Характеристическое уравнение, составленное относительно приращения :

для системы второго порядка

для системы третьего порядка

Для суждения о характере корней характеристического уравнения разработано несколько математических критериев. Воспользуемся критерием Гурвица (Рауса — Гурвица).

Критерий (теорема) Гурвица состоит в следующем: для того чтобы действительные части корней характеристического уравнения были отрицательными, необходимо и достаточно, чтобы все диагональные миноры определителя Гурвица были больше нуля.

Определитель Гурвица

Следовательно, условия отрицательности действительных частей корней характеристического уравнения выражают следующим образом:

Определитель Гурвица составляют так:

1) по главной диагонали определителя в порядке возрастания индексов вписывают коэффициенты от до ;

2) в ту часть каждого столбца, которая расположена выше главной диагонали, записывают коэффициенты в порядке возрастания индексов;

3) в ту часть каждого столбца, которая расположена ниже главной диагонали, вписывают коэффициенты в порядке уменьшения индексов (до включительно).

Следствием теоремы Гурвица является лемма: все коэффициенты характеристического уравнения устойчивой системы положительны.

Из изложенного вытекает, что для системы с характеристическим уравнением второго порядка положительные вещественные корни (или комплексно-сопряженные с положительной действительной частью) имеют место в том случае, если какой-либо из коэффициентов уравнения окажется отрицательным. Для системы с характеристическим уравнением третьего порядка положительные вещественные корни (комплексно-сопряженные с положительной действительной частью) будут в том случае, если: а) какой-либо из коэффициентов окажется отрицательным; б)

Аналогичные заключения могут быть сделаны и для систем с характеристическими уравнениями более высоких порядков.

Коэффициенты могут оказаться отрицательными в следующих основных случаях:

а) когда в состав исследуемой на устойчивость системы входят нелинейные резисторы, обладающие падающим участком характеристики, а точка равновесия оказывается на падающем участке характеристики;

б) в схемах с чрезмерно большим воздействием выходной величины на входную (в схемах с чрезмерно большой положительной обратной связью). В этом случае поступление энергии из выходной цепи во входную превышает потребление энергии во входной цепи и приращение возрастает;

в) в схемах с управляемыми нелинейными индуктивными катушками (нелинейными конденсаторами) при наличии неявно (в некоторых случаях и явно) действующих обратных связей. В таких схемах обратные связи при определенных условиях приводят к появлению на характеристиках нелинейных индуктивных катушек (нелинейных конденсаторов) падающих участков. Режим работы системы может оказаться неустойчивым, если изображающая точка окажется на падающем участке характеристики управляемой нелинейной индуктивной катушки (нелинейного конденсатора).