§ 2.18. Линейные соотношения в электрических цепях.

Если в линейной электрической цепи изменяется ЭДС или сопротивление в какой-либо одной ветви, то две любые величины (токи и напряжения) двух любых ветвей связаны друг с другом линейными зависимостями вида

Функцию выполняет ток или напряжение одной ветви, функцию у — ток или напряжение другой ветви.

Доказательство. Согласно методу контурных токов, общее выражение для тока в -ветви записывается в виде (2.7). Если в схеме изменяется только одна ЭДС, например ЭДС то все слагаемые в (2.7), кроме слагаемого , постоянны и могут быть для сокращения записи заменены некоторым слагаемым Следовательно,

Аналогично, для -ветви

(2.13)

Найдем из (2.13):

и подставим в (2.12). Получим

где

Коэффициенты могут быть . В частном случае либо либо может быть равно нулю.

Рис. 2.20

Равенство (2. 14) свидетельствует о том, что при изменении токи связаны линейной зависимостью. Из теоремы компенсации известно, что любое сопротивление можно заменить источником ЭДС. Следовательно, изменение сопротивления в -ветви эквивалентно изменению ЭДС . Таким образом, линейное соотношение между двумя любыми токами (2.14) имеет место при изменении не только ЭДС но и сопротивления какой-то -ветви.

Если обе части (2.12) умножить на сопротивление -ветви и проделать аналогичные выкладки, то можно убедиться в том, что напряжение -ветви линейно связано с током в -ветви.

Коэффициенты из (2.14) и в других подобных выражениях могут быть найдены расчетным или опытным путем.

При опытном определении коэффициентов достаточно найти значения двух токов (соответственно напряжений) при двух различных режимах работы схемы и затем решить систему из двух уравнений с двумя неизвестными. Пусть, например, в первом опыте а во втором .

Тогда

Если в схеме одновременно изменяются ЭДС или сопротивления в каких-либо двух ветвях, то любые три величины в этой схеме (токи, напряжения) связаны друг с другом линейным соотношением вида .

Доказательство этого соотношения проводится аналогично приведенному ранее.

Пример 18. На рис. 2.20, а изображена схема, в которой выделены три ветви. В ветви включен амперметр в ветви 2 — амперметр ветви 3 имеются ключ К и сопротивление Если К разомкнут, то амперметр показывает 1 А, амперметр . При замкнутом ключе амперметр показывает 2 А, а амперметр . При замкнутом ключе сопротивление изменили так, что показание амперметра стало 4,5 А. Каково показание амперметра в этом режиме?

Рис. 2.21

Решение. Выразим через Составим уравнение для определения а и Ь:

Отсюда При

Пример 19. В схеме рис. 2.20, б сопротивление R изменяется от нуля до бесконечности. Вывести зависимость напряжения напряжения

Решение. При разомкнутой ветви При коротком замыкании ветви Отсюда . Следовательно,