§ 2.36. Соотношения между топологическими матрицами.

Полагаем, что при составлении матриц выполнены условия, оговоренные в § 2.31. Тогда

Представим матрицу-столбец токов ветвей в виде подматрицы токов ветвей дерева и подматрицы токов ветвей связи

Матрицу-столбец напряжений ветвей также представим в виде подматрицы напряжений ветвей дерева и подматрицы напряжений ветвей связи

По первому закону Кирхгофа или

Алгебраическая сумма токов в любом сечении схемы равна нулю, поэтому Следовательно,

По второму закону Кирхгофа, поэтому

Учтем, что столбец соответствует строкам если у всех ненулевых элементов изменить знаки. Следовательно,

Обозначим

Тогда

Умножив (2.55) слева на , получим

Но из (2.56) имеем поэтому

Дадим обоснование еще одному соотношению

В каждой строке этого матричного произведения складываются произведения элементов -строки на элементы -столбца Произведение не будет нулем, если ветвь подходит к узлу i и входит в контур k (рис. 2.37). Но в контуре k узел i соединен не с одним, а с двумя узлами ветвями и поэтому всегда будет еще ненулевое произведение отвечающее ветви , независимо от того, как направлены стрелки на ветвях и каково направление обхода контура k. Следовательно, каждая строка

Рис. 2.37

Соотношения между топологическими матрицами существенны для формализации расчета цепей на ЭВМ. Например, записав определяем и по ней —