§ 2.31. Некоторые топологические понятия и топологические матрицы.

Положим, что в схеме имеется у узлов и в ветвей и каждая пара узлов соединена одной ветвью. Если в исходной схеме между какими-то двумя узлами имеется несколько параллельных ветвей, то их следует заменить одной эквивалентной. Перед составлением топологических матриц ветви схемы (графа) нумеруют и на них ставят стрелки. Стрелки указывают положительные направления для отсчета тока и напряжения на каждой ветви. Перед нумерацией ветвей графа нужно выбрать дерево. Как указывалось в § 2.8, дерево представляет такую совокупность узлов схемы и соединяющих их ветвей, когда ветви касаются всех узлов, но не образуют ни одного замкнутого контура. Число ветвей дерева равно . Нумерацию ветвей графа начинают с нумерации ветвей дерева, используя номера с 1 по . Номера с у по в придают ветвям графа, не вошедшим в выбранное дерево. Их называют ветвями связи или хордами. В качестве примера на рис. 2.34, а изображена схема, а на рис. 2.34, б — соответствующий ей граф.

Рис. 2.34

Схема имеет четыре узла и шесть ветвей. Узлы обозначены цифрами 1 — 4 (рис. 2.34, б). На рис. 2.33, в показано дерево, которое положено далее в основу формирования топологических матриц.

Ветви дерева обозначим цифрами 1, 2, 3, остальные ветви графа (ветви связи) — цифрами Ветви дерева рис. 2.34, г вычерчены утолщенными линиями, ветви связи — тонкими. На ветвях графа ставим стрелки, направление их произвольно (рис. 2.34, в, г). Узловую матрицу [А] составляют для всех узлов графа, кроме одного. В этой матрице номер строки соответствует номеру узла, а номер столбца — номеру ветви. В ячейки матрицы |А] ставят числа 1, —1,0. Если узел, для которого составляется строка матрицы, охватить некоторой поверхностью, след которой показать кружком, то в соответствующую ячейку матрицы [А] ставят 1, если стрелка -ветви направлена из кружка, ставят —1, если стрелка направлена в кружок, и 0, если ветвь не затронута кружком. При заземленном узле 4 (рис. 2.34, б):

Ветви

Заметим, что матрица [А] может быть представлена двумя подматрицами:

Узлы Ветви

Матрицу сечений [Q] составляют для любых сечений графа, а матрицу главных сечений — для главных сечений выбранного дерева.

След сечений на рисунках показывают овалами, вычерченными тонкими линиями.

Главными сечениями называют сечения, каждое из которых рассекает несколько ветвей связи и только одну ветвь выбранного дерева. Главные сечения нумеруют. Номер главного сечения соответствует номеру рассекаемой этим сечением ветви дерева. Для графа рис. 2.34, б главные сечения показаны на рис. 2.34, г и обозначены цифрами 1, 2, 3. Сечение 1 рассекает ветвь и ветви связи 4 и 6, сечение 2 — ветвь 2 и ветви связи 4,5, 6 (ветвь целиком входит в овал 2 и не рассекается им), сечение 3 — ветвь 3 и ветви связи 5 и 6. Строки матрицы соответствуют сечениям, а столбца — ветвям графа.

В ячейках соответствующей строки матрицы ставят 1 для рассекаемой этим сечением ветви дерева и для всех ветвей связи, стрелки на которых ориентированы относительно поверхности этого сечения (след этого сечения на плоскости — овал), так же как и стрелка на рассекаемой этим сечением ветви дерева. Когда стрелка на ветви связи направлена относительно овала иначе, чем стрелка на ветви дерева, ставят — 1, когда ветвь связи не рассечена — 0.

Применительно к дереву рис. 2.34, в для главных сечений (рис. 2.34, г):

В общем случае матрица может быть представлена в виде двух матриц:

Каждая строка имеет только по одному элементу 1 и находится он на главной диагонали, поэтому представляет собой единичную матрицу [1] и

Главными контурами называют контуры, в каждый из которых входит только по одной ветви связи. Нумеруют главные контуры теми же номерами, какие присвоены ветвям связи в них. Главные контуры 4,5,6 дерева рис. 2.34, в изображены на рис. 2.35. Толстыми линиями показаны ветви дерева, тонкими — ветви связи.

Матрицей главных контуров называют матрицу, составленную из чисел 1, —1, 0, строки которой соответствуют номеру главного контура, а столбцы — номеру ветви.

Рис. 2.35

Рис. 2.36

Главные контуры при составлении матрицы обходят в направлении стрелки на ветви связи соответствующего контура. Если при таком обходе контура направление стрелки на какой-либо ветви этого контура совпадает с направлением обхода контура, то в соответствующую ячейку ставят 1, если не совпадает, то —1, если ветвь не обходится, то 0.

Для контуров 4, 5, 6 рис. 2.35:

Ветви

В общем виде матрица может быть представлена в виде двух подматриц и имеет следующую нумерацию строк и столбцов:

Так как номер строки (номер контура) определяется номером его ветви связи и обход контура осуществляется в соответствии со стрелкой на ветви связи, то каждая строка подматрицы имеет только один элемент 1, расположенный на ее главной диагонали, т. е. представляет собой единичную матрицу [1], а .