§ 8.48. Разложение сложной дроби на простые.

Из курса математики известно, что дробь

при условии, что и полином не имеет кратных корней, может быть представлена в виде суммы простых дробей:

или

где — корни уравнения .

Для определения коэффициента умножим обе части уравнения (8.52) на . В результате получим

Рассмотрим выражение (8.53) при Правая часть уравнения равна а левая представляет собой неопределенность, так как множитель при равен нулю и знаменатель при также равен нулю есть корень уравнения

Раскроем неопределенность по правилу Лопиталя. С этой целью производную от числителя разделим на производную от знаменателя и найдем предел дроби:

-производйая от по -значение при — значение при

Следовательно, из (8.53) при получаем уравнение

или

Аналогично,

Таким образом,

ИЛИ

Пример 93. Найти коэффициенты разложения дроби Решение. Корни уравнения

По формуле (8.56), ,