§ 9.4. Теорема Рейли.

Теорему Рейли (Релея) записывают следующим образом:

Функция при представляет собой модуль спектра функции :

Если принять, что есть напряжение, приложенное к активному сопротивлению в 1 Ом, то левая часть в (9.15) представляет собой энергию, выделяющуюся в этом сопротивлении.

Таким образом, площадь квадрата модуля спектра , разделенная на является энергией, рассеиваемой в активном сопротивлении, на которое воздействует .

Основой при выводе теоремы Рейли служит обратное преобразование Фурье:

Умножим обе части последнего равенства на и проинтегрируем по t от до

В правой части изменим порядок интегрирования:

В соответствии с формулой (9.16)

следовательно,

Для перехода к формуле (9.15) учтем, что при функция Это дает возможность заменить в левой части нижний предел с на 0. Приняв во внимание, что квадрат модуля есть четная функция частоты, заменим в правой части последнего уравнения на . В результате получим формулу (9.15).

Величину называют спектральной плотностью энергии сигнала, а функцию — энергетическим спектром.