§ 8.3. Принужденные и свободные составляющие токов и напряжений.
Известно, что общий интеграл линейного дифференциального уравнения равен сумме частного решения неоднородного уравнения плюс общее решение однородного уравнения. Частное решение уравнения (8.1) равно 
— постоянная ЭДС).
Однородное уравнение получаем из исходного, если в нем возьмем правую часть равной нулю. В нашем случае
Решением однородного уравнения является показательная функция вида 
.
Для всех переходных процессов условимся, что момент 
соответствует моменту коммутации.
Постоянные А и 
не зависят от времени. Без вывода дадим их значения для рассматриваемого примера: 
Следовательно, решение уравнения (8.1) запишется так:
где 
— частное решение неоднородного уравнения (8.1); 
— общее решение однородного уравнения (8.2). Подстановка (8.3) в (8.1) дает тождество
Следовательно, (8.3) действительно является решением уравнения (8.1).
Частное решение неоднородного дифференциального уравнения будем называть принужденной составляющей тока (напряжения), а полное решение однородного уравнения — свободной составляющей. Применительно к рассмотренному примеру принужденная составляющая тока 
а свободная составляющая 
Полный ток 
.
Кроме индексов «пр» (принужденный) и «св» (свободный) токи и напряжения могут иметь и дополнительные индексы, соответствующие номерам ветвей на схеме.
Принужденная составляющая тока (напряжения) физически представляет собой составляющую, изменяющуюся с той же частотой, что и действующая в схеме принуждающая ЭДС. Если в схеме действует принуждающая синусоидальная ЭДС частоты 
, то принужденная составляющая любого тока и любого напряжения в схеме является соответственно синусоидальным током (синусоидальным напряжением) частоты 
.
Определяются принужденные составляющие в цепи синусоидального тока с помощью символического метода (см. гл. 3). Если в схеме действует источник постоянной ЭДС (как, например, в схеме рис. 8.2), то принужденный ток есть постоянный ток и находят его с помощью методов, рассмотренных в гл. 2.
Постоянный ток через конденсатор не проходит, поэтому принужденная составляющая тока через него в цепях с источниками постоянной ЭДС равна нулю. Кроме того, напомним, что падение напряжения на индуктивной катушке от неизменного во времени тока равно нулю.
В линейных электрических цепях свободные составляющие токов и напряжений затухают во времени по показательному закону 
Так, в рассмотренном примере 
. С увеличением времени t множитель 
быстро уменьшается. Название свободная объясняется тем, что эта составляющая есть решение уравнения, свободного от вынуждающей силы (однородного уравнения без правой части).
Из трех токов (полного, принужденного и свободного) и трех напряжений (полного, принужденного и свободного) основное значение имеют полный ток и полное напряжение.
Полный ток является тем током, который в действительности протекает по той или иной ветви при переходном процессе. Его можно измерить и записать на осциллограмме. Аналогично, полное напряжение — это напряжение, которое в действительности имеется между некоторыми точками электрической цепи при переходном процессе. Его также можно измерить и записать на осциллограмме.
Принужденные и свободные составляющие токов и напряжений Во время переходного процесса играют вспомогательную роль; они являются теми расчетными компонентами, сумма которых дает Действительные величины.
Здесь следует еще раз обратить внимание на тот факт, что при любых переходных и установившихся процессах соблюдают два основных положения: ток через индуктивную катушку и напряжение на конденсаторе не могут изменяться скачком.
