§ 15.70. Автомодуляция. Хаотические колебания (странные аттракторы).

Автомодуляцией называют режим работы нелинейной электрической цепи, находящейся под воздействием периодической вынуждающей силы частотой при которой амплитуды токов и напряжений в цепи периодически изменяются без воздействия внешнего модулирующего фактора. Автомодуляция возникает вследствие неустойчивости периодического режима работы на частоте вынуждающей силы .

Рис. 15.56

Процесс оказывается периодическим или почти периодическим для огибающих амплитуд первых гармоник и непериодическим (хаотическим) для мгновенных значений.

Выведем основные зависимости, описывающие процесс автомодуляции в схеме (на рис. 15.56, а) с нелинейным конденсатором, кулон-вольтную характеристику которого в соответствии с § 15.26 выразим в виде .

Так как в цепи действуют постоянная Е и синусоидальная ЭДС, то заряд q имеет постоянную и синусоидальную компоненты:

Постоянная составляющая напряжения на конденсаторе (см. § 15.16)

Первая гармоника , первая гармоника тока . Если в уравнение цепи

подставить записанные выражения для и разбить его в соответствии с методом гармонического баланса на уравнения для постоянной составляющей, а также для синусной и косинусной компонент, а затем два последних уравнения возвести в квадрат и сложить для устранения угла , то, введя обозначения , получим два следующих уравнения:

Решим (б) относительно

Уравнение (в) дает связь между пит, обусловленную параметрами цепи по первой гармонике частоты а уравнение (а) — по постоянной составляющей. На рис. 15.56, б изображена зависимость от построенная по соотношению (в) при Верхний участок кривой соответствует знаку плюс, а нижний — знаку минус перед радикалом в формуле (в).

Задаваясь значениями в интервале 0 — 6 и беря соответствующие им значения из рис. 15.56, б, по формуле (а) строим зависимость (рис. 15.56, в). Из рисунка видно, что в области значений имеется падающий участок, не прикрытый восходящими участками.

Если будет такова, что изображающая точка окажется на падающем участке характеристики (рис. 15.56, в), то режим вынужденных колебаний окажется неустойчивым и в системе начнется процесс автомодуляции. Последний будет процессом устойчивым, так как для него имеется единственный предельный цикл.

На рис. 15.56, б, в пунктиром показано, как движется изображающая точка при автомодуляции. Стрелки указывают направление движения. На рис. 15.56, г показан характер изменения во времени тока (первой гармоники тока).

Для более обстоятельного ознакомления с теорией автомодуляции и некоторыми другими динамическими явлениями в различных электротехнических устройствах рекомендуем обратиться к [21].

Из рис. 15.56, в видно, что дифференциальная емкость для медленно изменяющихся на падающем участке отрицательна.

Если в схеме (рис. 15.56, а) заменить линейную L на управляемую нелинейную, а нелинейный конденсатор на линейный, то при определенных условиях также возникнут автомодуляция и появится отрицательная дифференциальная индуктивность для медленно изменяющихся составляющих потокосцепления и тока

В заключение заметим, что непериодические (хаотические) процессы для мгновенных значений токов и напряжений в нелинейных цепях, находящихся под воздействием периодических вынуждающих сил, в особенности когда нет явно выраженной огибающей, называют еще странными аттракторами (аттрактор — это путь от одного типа движения к другому). Возникновение хаотического движения можно рассматривать как катастрофу ожидаемого периодического движения. Как правило, катастрофа происходит тогда, когда теоретически единственно возможный периодический процесс в цепи при данных сочетаниях параметров оказывается неустойчивым и в окрестности единственной неустойчивой точки равновесия нет устойчивого предельного цикла.

Если падающий участок на характеристике мал и (или) почти плоский, то вместо автомодуляции возникает хаос.