§ 16.17. Изоклины. Особые точки. Построение фазовых траекторий.

Тангенс угла наклона, образованного касательной к интегральной кривой в некоторой точке ФП и осью абсцисс, определяет значение этой точке. Совокупность точек ФП, для которых , называют изоклиной. На ФП можно провести множеству изоклин, каждой из которых соответствует свое значение.

Для всех точек ФП, отражающей процессы в цепи второго порядка (кроме особых точек), имеет вполне определенное значение. В особых точках (ОТ) , т. е. не определено. Через эти точки может быть проведено множество изоклин с различными значениями

ОТ классифицируют по виду интегральных кривых, окружающих эти точки.

Если ОТ окружена эллипсами (рис. 16.11, д), то ее называют ОТ типа центр; она соответствует двум мнимым корням характеристического уравнения.

Если ОТ окружена свертывающейся спиралью, то ее называют устойчивым фокусом (рис. 16.11, е) ей соответствуют комплексно-сопряженные корни с отрицательной действительной частью.

Если ОТ окружена раскручивающейся спиралью, то ее называют неустойчивым фокусом (рис. 16.11, ж) ей соответствуют комплексно-сопряженные корни с положительной действительной частью.

Если корни отрицательные и действительные, то ОТ называют устойчивым узлом (рис. 16.11, з). При положительных действительных корнях получают ОТ типа неустойчивого узла (рис. 16, и). Когда один корень положителен, а другой отрицателен, имеем ОТ типа седла (рис. 16.11, к).

Рассмотрим переходный процесс в схеме на рис. 16.12, а, вызываемый замыканием ключа при нулевых начальных условиях: .

Рис. 16.13

Построим семейство изоклин для напряжения на конденсаторе Определим положение и тип ОТ. Построим фазовую траекторию переходного процесса.

В уравнении цепи заменим на на на и учтем, что Решим уравнение относительно у и :

Из уравнения (б) следует, что координаты особой точки Последовательно придавая значения строим семейство изоклин (рис. 16.12, б). Все изоклины проходят через ОТ и представляют собой прямые линии (цепь линейна). Масштабы по осям и у приняты одинаковыми. Черточки на каждой изоклине характеризуют значение для нее.

Так как то к началу процесса изображающая точка находится в начале координат. В установившемся режиме и

Для построения интегральной кривой из исходной точки проводим два луча до пересечения с изоклиной в точках тип: Первый луч соответствует значению той изоклины, с которой начинается движение, второй — значению следующей изоклины, на которую точка перейдет. Делим расстояние пополам и проводим через исходную и полученную точки плавную кривую — кусочек фазовой траектории. Продолжаем аналитический процесс далее и строим всю фазовую траекторию в виде свертывающейся спирали.

ОТ в примере является устойчивым фокусом. Время в явном виде на фазовой плоскости не отражено.

Временные зависимости по фазовой траектории получают по формуле где — начальное значение, — текущее.

В окрестности точки пересечения кривой с осью абсцисс подынтегральное выражение стремится к бесконечности. Чтобы избежать планиметрирования площади под кривой, уходящей в бесконечность при подсчет времени на этом участке производят по средней скорости

Пример 166. Рассмотреть колебательный процесс в схеме на рис. 16.13, а. В этой схеме , ВАХ нелинейного резистора изображена на рис. 16.13, б. Ток источника постоянного тока . ВАХ относительно переменных составляющих тока i и напряжения и на резисторе получена переносом начала координат в точку . Эта ВАХ состоит из трех участков. На участке на участке на участке III Обозначим переменную составляющую заряда конденсатора Учтем, что сумма падений напряжений для переменных составляющих

ток

Подставим соответствующие эквиваленты в (а) и запишем уравнение изоклин на каждом из участков: на участке I , на участке II на участке III

В соответствии с этими уравнениями строим на рис. 16.13, в семейство изоклин для каждого из участков. Изоклины являются отрезками прямых. Значения а написаны рядом с соответствующей изоклиной. Жирной линией показан предельный цикл.