Главная > Теоретические основы электротехники
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 8.27. Определение постоянных интегрирования в классическом методе.

Как известно из предыдущего, любой свободный ток (напряжение) можно представить в виде суммы экспоненциальных слагаемых. Числочленов суммы равно числу корней характеристического уравнения.

При двух действительных неравных корнях

при трех действительных неравных корнях

Для любой схемы с помощью уравнений Кирхгофа и законов коммутации можно найти: 1) числовое значение искомого свободного тока при , обозначим его ; 2) числовое значение первой, а если понадобится, то и высших производных от свободного тока, взятых при . Числовое значение первой производной от свободного тока при обозначим ; второй — и т. д.

Рассмотрим методику определения постоянных интегрирования , полагая известными и значения корней

Если характеристическое уравнение цепи представляет собой уравнение первой степени, то Постоянную интегрирования А определяют по значению свободного тока

Если дано характеристическое уравнение второй степени и его корни действительны и не равны, то

Продифференцируем это уравнение по времени:

(8.16а)

Запишем уравнения (8.16) и (8.16а) при t = 0 (учтем, что при ). В результате получим

(8.17а)

В этой системе уравнений известными являются ; неизвестными — .

Совместное решение (8.17) и (8.17а) дает

(8.176)

Если корни характеристического уравнения являются комплексно-сопряженными, то в (8.16) сопряжены не только но и . Поэтому свободный ток

Угловая частота и коэффициент затухания 6 известны из решения характеристического уравнения.

Определение двух неизвестных А и v производят и в этом случае по значениям .

Продифференцировав по времени уравнение (8.18), получим

(8.18а)

Запишем уравнение (8.18а) при :

Таким образом, для нахождения неизвестных А и v имеем два уравнения:

Для цепи, имеющей характеристическое уравнение третьей степени, свободный ток

Найдем первую, а затем вторую производную от левой и правой частей уравнения (8.20):

Запишем (8.20)—(8.22) при :

Система уравнений (8.23) представляет собой систему трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными: Все остальные входящие в нее величины известны.

Сначала, пока еще не накоплено опыта в решении задач, для облегчения расчета величины и ее производной (производных) при рекомендуется решать задачу относительно тока через L или напряжения на С и только затем, используя законы Кирхгофа, определять любую другую величину через найденную.

Рассмотрим несколько примеров расчета переходных процессов классическим методом в цепях первого и второго порядков с источниками постоянной и синусоидальной ЭДС при ненулевых начальных условиях.

Пример 80. В схеме рис. 8.17 до замыкания ключа был установившийся режим: ; С = 100 мкФ; Е = 150 В.

Рис. 8.17

Требуется найти; 1) полные, принужденные и свободные составляющие токов при а также начальное значение производной от свободного напряжения на конденсаторе; 2) токи и напряжение в функции времени.

Решение первой части задачи. До коммутации

Напряжение на конденсаторе равно напряжению на резисторе .

Найдем принужденные значения токов и напряжений после коммутации:

По второму закону Кирхгофа составим уравнение для контура, образованного первой и второй ветвями при

Поэтому

Из уравнения получим

По первому закону Кирхгофа Следовательно, .

Свободные составляющие тока и напряжения при определим как разности между полными и принужденными величинами:

Так как свободный ток через конденсатор

В рассматриваемом примере

Решение второй части задачи. Характеристическое уравнение для послекоммутационной схемы имеет один корень

Каждый ток равен сумме принужденной и свободной составляющей , где равно значению свободной Составляющей при (рис. 8.18):

Пример 81. В схеме рис. 8.19 до замыкания ключа был установившийся режим ; ;

Требуется определить: 1) ; 2) закон изменения тока в цепи после коммутации.

Решение первой части задачи. Комплексная амплитуда тока в цепи до коммутации

Мгновенное значение тока до коммутации .

В момент коммутации (при )

При нужденный ток после коммутации

Мгновенное значгнж жденного тока

По первому закону коммутации .

Но Следовательно, .

Решение второй части задачи. Характеристическое уравнение имеет корень

Рис. 8.18

Рис. 8.19

Рис. 8.20

По данным первой части задачи ток в цепи до коммутации (кривая на рис. 8.20 до

Мгновенное значение принужденного тока после коммутации (кривая 2 на рис 8.20)

Следовательно,

Кривая 3 на рис. 8.20 определяет характер изменения свободного тока, кривая 4 — полного тока после коммутации (ординаты кривой 4 при равны сумме ординат кривых 2 и 3).

Пример 82. Конденсатор емкостью С, заряженный до напряжения при замыкании ключа К разряжается на L и (рис. 8.21, а). Вывести формулы и построить графики изменения во времени , когда корни характеристического уравнения: а) действительные; б) комплексно-сопряженные.

Решение. Корни уравнения равны .

Они действительны при и комплексно-сопряжены при При корни равны. Соответствующее этому случаю R называют критическим. При решении учтем, что .

а) Полагаем — действительные корни. Тогда

Составим два уравнения для определения и :

Отсюда

Рис. 8.21

Следовательно,

Графики для случая а) даны на рис. 8.21, б. Для случая б) корни где Напряжение

Здесь , угол находится во второй четверти. Из начальных условий

Отсюда

Постоянная

Графики

изображены на рис. 8.21, .

Пример 83. В схеме рис. 8.22 ключ замыкается в третьей ветви. До этого был установившийся режим: . Требуется найти:

Решение первой части задачи. До замыкания ключа

Принужденный ток после коммутации . Постоянный ток через конденсатор не проходит, поэтому

Рис. 8.22

От постоянного тока на индуктивном элементе нет падения напряжения, следовательно, .

Принужденное напряжение на конденсаторе равно падению напряжения на R, от тока . По первому закону коммутации . Но , откуда

или

Составим уравнение по второму закону Кирхгофа для замкнутого контура образованного первой и третьей ветвями:

Так как , то

Свободная составляющая

Чтобы определить , составим уравнение для свободных составляющю по контуру, образованному первой и второй ветвями:

откуда

Но . Следовательно,

Свободное напряжение на конденсаторе при подсчитаем по втором) закону коммутации:

отсюда .

Определим скорость изменения свободной составляющей напряжения на конденсаторе при . С этой целью воспользуемся тем, что . Следовательно,

Решение второй части задачи. Характеристическое уравнение

Рис. 8.23

имеет два комплексно-сопряженных корня:

Поэтому свободная составляющая должна быть взята в виде

где ; А и v определяются по значению свободной составляющей и ее первой производной при . По данным первой части задачи,

При Производная функция .

Значение этой производной при равно — .

Найдем значения А и v для свободной составляющей тока Для этого составим два уравнения:

Совместное решение их дает . Следовательно,

Кривая на рис. 8.23 выражает собой график . Найдем А и v для свободной составляющей напряжения

Отсюда . Таким образом,

Кривая 2 на рис. 8.23 изображает .

Пример 84. В схеме рис. 8.22 . Параметры схемы те же что и в примере 83. До замыкания ключа в схеме был установившийся режим.

Требуется найти: ;

2) .

Решение первой части задачи. До коммутации

Определим принужденные токи и напряжения на конденсаторе после коммутации.

Входное сопротивление цепи

Тогда

Мгновенное значение принужденного тока после коммутации

Комплексное сопротивление параллельно соединенных второй и третьей ветвей

Комплексное напряжение на параллельном участке

Отсюда

Мгновенные значения принужденных токов и после коммутации:

Принужденное напряжение на конденсаторе

Мгновенное значение принужденого напряжения на конденсаторе после коммутации

По первому закону коммутации,

Свободное напряжение на конденсаторе найдем по второму закону коммутации:

Для определения составим уравнение по контуру, образованному первой и третьей ветвями:

Заменим в нем на и, учтя, что , получим

Чтобы найти составим уравнение для контура, образованного первой и второй ветвями:

откуда

Решение второй части задачи. По данным, полученным при решении первой части,

Корни характеристического уравнения те же, что и в предыдущем примере. Определим А и v для , составим два уравнения:

откуда .

Следовательно,

Найдем А и v для , составим два уравнения:

Их совместное решение дает . Таким образом .

1
Оглавление
email@scask.ru