§ 8.50. Дополнения к операторному методу.
1. Для перехода от изображения F(p) к функции времени 
может быть использовано обратное преобразование Лапласа:
Функция F(p) аналитична в области 
и стремится к нулю 
При практическом использовании этой формулы интеграл по бесконечной прямой, параллельной оси ординат, заменяют контурным интегралом, охватывающим все полюсы функции 
Полюсами называют значения 
, при которых 
обращается в бесконечность. В том случае, когда F(p)=N(p)/М(р), полюсами являются корни уравнения М(р)=0. В теории функций комплекш ного переменного доказывается, что правая часть формулы (б) 
на сумме вычетов 
подынтегральной функции во всех ее полюсах, т. е.
Вычетом функции в некотором полюсе называют величину, на которую уменьшается разделенный на 
контурный интеграл от этой функции, когда контур при его стягивании пересечет этот полюс. Но вычет функции 
в простом полюсе 
равен 
Поэтому
Таким образом, используя обратное преобразование Лапласа, вывели формулу разложения (8.61).
2. Запишем формулу разложения при наличии кратных корней. Положим, что уравнение М(р)= 0 имеет q простых корней 
корень 
кратности 
и корень 
кратности s. Тогда
Пример 96. Найти оригинал 
.
Решение. Корню 
соответствует оригинал 
корню 
второй кратности — оригинал
Следовательно, 
