§ 8.50. Дополнения к операторному методу.

1. Для перехода от изображения F(p) к функции времени может быть использовано обратное преобразование Лапласа:

Функция F(p) аналитична в области и стремится к нулю При практическом использовании этой формулы интеграл по бесконечной прямой, параллельной оси ординат, заменяют контурным интегралом, охватывающим все полюсы функции

Полюсами называют значения , при которых обращается в бесконечность. В том случае, когда F(p)=N(p)/М(р), полюсами являются корни уравнения М(р)=0. В теории функций комплекш ного переменного доказывается, что правая часть формулы (б) на сумме вычетов подынтегральной функции во всех ее полюсах, т. е.

Вычетом функции в некотором полюсе называют величину, на которую уменьшается разделенный на контурный интеграл от этой функции, когда контур при его стягивании пересечет этот полюс. Но вычет функции в простом полюсе равен

Поэтому

Таким образом, используя обратное преобразование Лапласа, вывели формулу разложения (8.61).

2. Запишем формулу разложения при наличии кратных корней. Положим, что уравнение М(р)= 0 имеет q простых корней корень кратности и корень кратности s. Тогда

Пример 96. Найти оригинал .

Решение. Корню соответствует оригинал корню второй кратности — оригинал

Следовательно,