§ 8.50. Дополнения к операторному методу.
1. Для перехода от изображения F(p) к функции времени
может быть использовано обратное преобразование Лапласа:
Функция F(p) аналитична в области
и стремится к нулю
При практическом использовании этой формулы интеграл по бесконечной прямой, параллельной оси ординат, заменяют контурным интегралом, охватывающим все полюсы функции
Полюсами называют значения
, при которых
обращается в бесконечность. В том случае, когда F(p)=N(p)/М(р), полюсами являются корни уравнения М(р)=0. В теории функций комплекш ного переменного доказывается, что правая часть формулы (б)
на сумме вычетов
подынтегральной функции во всех ее полюсах, т. е.
Вычетом функции в некотором полюсе называют величину, на которую уменьшается разделенный на
контурный интеграл от этой функции, когда контур при его стягивании пересечет этот полюс. Но вычет функции
в простом полюсе
равен
Поэтому
Таким образом, используя обратное преобразование Лапласа, вывели формулу разложения (8.61).
2. Запишем формулу разложения при наличии кратных корней. Положим, что уравнение М(р)= 0 имеет q простых корней
корень
кратности
и корень
кратности s. Тогда
Пример 96. Найти оригинал
.
Решение. Корню
соответствует оригинал
корню
второй кратности — оригинал
Следовательно,