§ 18.3. Расчет электрических цепей в установившемся режиме.

Если переменный параметр изменяется во времени периодически, претерпевая резкие скачкообразные изменения (см. рис. 18.2, а), то расчет цепей целесообразно проводить с помощью классического метода расчета переходных процессов. В этом случае постоянные интегрирования определяют, исходя из законов коммутации и периодичности процесса.

Если же переменный параметр изменяется так, что его можно представить в виде постоянной составляющей и одной или нескольких синусоидальных составляющих, то расчет производят, применяя метод гармонического баланса.

Метод гармонического баланса применительно к нелинейным цепям был рассмотрен в § 15.49. Основные его положения и здесь те же. Последовательность расчета такая: искомый ток (любая другая величина) изображают в виде ряда Фурье

Рис. 18.4

Полученное выражение для тока подставляют в дифференциальное уравнение цепи и выделяют из него уравнение, выражающее собой равенство постоянных составляющих левой и правой его частей, уравнение, выражающее собой равенство синусных составляющих левой и правой частей, и т. д. Каждое из этих уравнений в общем случае содержит несколько неизвестных но является линейным уравнением относительно этих неизвестных (в этом отличие от нелинейных цепей). Далее решают систему линейных уравнений относительно

Метод гармонического баланса можно применять к расчету цепей, содержащих несколько переменных во времени параметров (например, изменяющееся во времени резистивное сопротивление и изменяющуюся во времени индуктивность), причем характер изменения во времени ЭДС (тока) может быть по любому периодическому закону.

Пример 167. В схеме на рис. 18 4, а ЭДС Е источника ЭДС и индуктивность L катушки постоянны, а сопротивление резистора R(t) меняется в соответствии с рис. 18.4, б. Определить закон изменения тока в установившемся режиме.

Решение. Так как сопротивление изменяется периодически, то и ток изменяется периодически Обозначим значение тока в момент через . В этот момент сопротивление цепи скачком возрастает от до и ток в цепи начинает уменьшаться. В момент ток принимает значение и сопротивление скачком уменьшается с до Последнее приводит к тому, что ток начинает увеличиваться.

В первом интервале времени от до можно представить в виде суммы принужденного и свободного токов, причем — корень характеристического уравнения цепи — постоянная интегрирования.

Во втором интервале времени от до

Задача сводится к определению двух постоянных: При ; следовательно,

При , поэтому

Начальное значение тока для второго интервала времени можно найти и иначе:

К концу второго интервала времени, когда

Приравнивая правые части уравнений (18.4) и (18.7), получим

Аналогично, из уравнений (18.5) и (18.6) следует, что

Совместное решение двух последних уравнений дает

(189)

В первом интервале времени во втором Кривая показана на рис. 18.4, в.

Пример 168. В схеме на рис. 18.4, г ЭДС сопротивление R не является функцией времени. Определить постоянную составляющую, а также первую и вторую гармоники тока. Решение. В дифференциальное уравнение

подставляем ток

Выделив постоянную составляющую, получим уравнение

(18.12)

Равенство коэффициентов при в обеих частях (18.10) после подстановки в него (18.11) и деления на R дает

(18.13)

Приравняв коэффициенты при (после деления на R), получим

(18.14)

Рис. 18.5

при

(18.15)

при

(18.16)

Из (18.12) следует, что в схеме на рис. 18.4, г постоянная составляющая тока не зависит от переменных составляющих индуктивности и ЭДС. Однако постоянная составляющая потокосцепления, равная зависит от амплитуды первой гармоники переменного тока.

Это свойство в известном смысле напоминает первое из свойств нелинейных элементов с симметричными характеристиками, описанное в § 15.17.

Запишем решение уравнений (18.13) — (18.16):

Изменяя постоянную ЭДС E в схеме на рис. 18.4, г, можно управлять переменным током.