§ 9.2. Спектр функции и интеграл Фурье.

Ряд Фурье — это тригонометрический ряд, представляющий собой изображение периодической функции суммой синусоид, амплитуды которых конечны, а аргументы кратны основной частоте

Под интегралом Фурье понимают тригонометрический ряд, представляющий непериодическую функцию суммой бесконечно большого числа синусоид, амплитуды которых бесконечно малы, а аргументы соседних синусоид отличаются на бесконечно малые значения.

Формулу для интеграла Фурье получают из формулы для ряда Фурье [из формулы (9.11)] предельным переходом при стремлении периода Тк бесконечности.

На функцию при представлении ее интегралом Фурье накладывают ограничение, а именно, полагают, что есть величина конечная (не бесконечно большая). Это серьезное ограничение. Ряд функций этому условию не удовлетворяет.

Так как по определению [см. формулу (9.2)], а при есть величина конечная, то

Преобразуем выражение — стоящее под знаком суммы в формуле (9.11). С этой целью произведение заменим на [под (о будем понимать изменяющуюся (текущую)частоту]. В ряде Фурье разность двух смежных частот Следовательно,

При заменив дифференциалом получим

Обозначим

Формула (9.12) дает возможность преобразовать функцию времени в функцию частоты преобразование (9.12) называют прямым преобразованием Фурье, — спектром функции Это комплексная величина, зависящая от вида функции . В соответствии с (9.12) в (9.11) заменим на — и учтем, что при изменении бот — до также изменяется от — до Следовательно,

Заменив сумму интегралом, найдем

Формула (9.13) представляет собой запись интеграла Фурье (формулу обратного преобразования Фурье). Она выражает непериодическую функцию в виде бесконечно большого числа синусоидальных колебаний с бесконечно близкими частотами и бесконечно малыми амплитудами конечно, но произведение бесконечно мало, так как бесконечно мало значение

В соответствии с формулой (9.13) для нахождения реакции системы на любое воздействие следует его представить в виде бесконечно большого числа гармонических воздействий, символическим методом найти реакцию системы на каждое из воздействий и затем просуммировать реакцию на все воздействия.

Преобразования (9.12) и (9.13) являются взаимно обратными.

Отметим, что представление функции в комплексной форме в виде интеграла Фурье [формулы (9.13)] привело к необходимости формально ввести отрицательную угловую частоту. При этом сумма слагаемых подынтегральной функции (9.13) при дает синусоидальные колебания частоты .

Сопоставим формулу (9.12) с формулой преобразования по Лапласу:

если

Если учесть, что при , и заменить на то (9.14) переходит в (9.12). Следовательно, формулы для спектра функции могут быть получены из соответствующих выражений для изображений по Лапласу, если в последних заменить на .

Пользуясь соотношениями § 8.39, найдем спектр функции полагая, что при .

Изображение по Лапласу Заменим на и получим спектр есть комплексная величина, равная Модуль ее равен аргумент . Графики для экспоненциального импульса изображены на рис. 9.1, а, б.

Рис. 9.1

Пример 110. Найти для прямоугольного импульса (рис. 9.1, в) амплитудой А и длительностью

Решение. По формуле (9.12) определим спектр

Модуль

График этой функции приведен на рис. 9.1, г. Пунктиром показана огибающая. Аргумент для прямоугольного импульса вычислим по формуле . График показан на рис. 9.1, д. При значениях возрастает скачком на .

Обратим внимание на то, что при определении путем замены на в формуле для следует соблюдать некоторую осторожность, если функция имеет импульсный характер, иначе можно потерять импульсную компоненту в в виде дельта-функции. Например, изображение функции по Лапласу равно тогда как спектр функции равен не Чтобы показать это, определим спектр функции а затем устремим

Первое слагаемое правой части при и при стремится к бесконечности, т. е. имеет вид дельта-функции второе слагаемое правой части при равно Чтобы вычислить коэффициент а, проинтегрируем ) по от до

Но

Поэтому и спектр функции равен . В примере 110 при определении функции (см. рис. 9.1, в) слагаемое в виде дельта-функции в спектре отсутствует, так как у функции имеются два равных по значению, но противоположных по знаку скачка при слагаемые выпадают.