§ 16.6. Метод медленно меняющихся амплитуд.

В электро- и радиотехнике для расчета переходных процессов широко применяют метод медленно меняющихся амплитуд. Этот метод был предложен в 1921 г. голландским ученым Ван-дер-Полем.

Рассмотрим основы этого метода на примере нелинейной цепи второго порядка, находящейся под воздействием периодической возмущающей силы.

Пусть уравнение этой цепи записано следующим образом:

Под действием периодической силы с частотой в цепи устанавливается вынужденное колебание, первая гармоника которого имеет частоту Полагаем, что высшие гармоники выражены слабо. Искомая функция может быть представлена как

(16.10)

где а и b — медленно меняющиеся во времени амплитуды искомого колебания.

Медленность изменения а и b во времени определяется тем, что их производные по времени являются величинами первого порядка малости по сравнению с произведениями

(16.11)

Если это учесть, то, вместо того чтобы взять

(16.12)

можно в первом приближении принять

(16.13)

Аналогично, вместо того чтобы вторую производную брать в виде

пренебрежем в ней слагаемыми второго порядка малости (учтем, что ) и оставим слагаемые первого порядка малости. В результате получим

(16.14)

Обратим внимание на то, что слагаемые первого порядка малости оставлены в выражении для и их не учитывают в выражении для Объясняется это тем, что исследуемая цепь обладает малыми потерями, поэтому амплитуда второго слагаемого левой части (16.9) относительно мал а по сравнению с амплитудами первого и третьего слагаемых левой части (16.9).

В функцию вместо подставим (16.10) и разложим в ряд Фурье. Затем умножим ряд Фурье, которым выразилось на [на правую часть (16.13)]. Таким образом,

(16.15)

Так как расчет ведется по первой гармонике, то постоянной составляющей и высшими гармониками ряда Фурье в дальнейшем пренебрегаем.

В (16.9) подставим правую часть (16.14) вместо вместо вместо

Тогда (16.9) можно разбить на два уравнения. Одно из них [уравнение (16.9)] будет выражать собой равенство коэффициентов при в левой и правой частях (16.9), другое [уравнение (16.17)] — равенство коэффициентов при в левой и правой частях (16.9):

(16.16)

Система уравнений (16.16) и (16.17) представляет собой два совместных дифференциальных уравнения, составленных относительно мгновенных значений медленно меняющихся амплитуд а и b.

В общем случае решение этой системы может производиться методом малого параметра или методами численного интегрирования.

Рис. 16.5

В частном случае, когда внешняя периодическая сила равна нулю и функция система сводится к одному дифференциальному уравнению первого порядка

(16.18)

Ранее были рассмотрены основные этапы перехода от дифференциального уравнения для мгновенных значений [уравнение (16.9)] к дифференциальным уравнениям для медленно меняющихся амплитуд. Метод применим и к уравнениям более высоких порядков.

В заключение необходимо отметить, что если максимальное значение слагаемого подобных ему), выражающее собой падение напряжения в активном сопротивлении контура (контуров), соизмеримо с максимальными значениями остальных слагаемых (16.9), то в выражении должны быть сохранены слагаемые первого порядка малости, которыми ранее пренебрегли. Огибающая колебаний определяется уравнением

Пример 164. Определить закон нарастания амплитуды напряжения на сетке в ламповом автогенераторе (рис. 16.5).

В соответствии с обозначениями на рис. 16.5 составим уравнение по второму закону Кирхгофа для сеточной цепи:

Подставим в него . Получим

Анодный ток выразим через сеточное напряжение [см. (15.40)]:

Но Подставим

Поделим последнее уравнение на где — угловая частота автоколебаний, и обозначим

(16.19)

Получим

(16.20)

Примем

Тогда

(16.21)

Множитель — и представляет собой функцию f(x) уравнения (16.9). Так как на систему не действует внешняя периодическая сила и частота автоколебаний равна , а не , то примем

(16.23)

Подставим (16.22) и (16.23) в (16.21) и учтем, что

Так как расчет ведем по медленно изменяющейся по амплитуде первой гармонике, то слагаемое с не учитываем. Следовательно,

(16.24)

Введя новую переменную получим

(16.25)

Уравнение (16.25) — это уравнение с разделяющимися переменными

где — постоянная интегрирования: .

Амплитуда напряжения на конденсаторе изменяется во времени следующим образом:

(16.26)

Постоянную интегрирования определим по начальному значению. Если при , то

Мгновенное значение напряжения на конденсаторе

(16.27)