§ 8.49. Формула разложения.

Переход от изображения к функции времени часто производят с помощью формулы

которую называют формулой разложения.

Левая часть формулы является функцией , правая часть — соответствующей ей функцией времени

Вывод формулы можно осуществить следующим образом. Пусть изображение какой-либо функции времени, например тока, .

Для получения тока как функции времени представим сначала в виде суммы простых дробей — разложим . С этой целью в формуле (8.58) заменим на :

Перейдем от изображения к оригиналу. Оригиналом левой части является Оригинал правой части равен сумме оригиналов ее слагаемых.

Учтем, что множители у слагаемых суммы правой части (8.60) есть постоянные числа (не функции ). Кроме того, функциями в правой части являются только множители им соответствуют функции времени вида [см. формулу (8.28)]. Поэтому

Переход от изображения (функции ) к оригиналу (функции t) с помощью формулы разложения (8.61) основан на том, что изображение представлено в виде суммы простых дробей - , а оригиналами их являются показательные функции .

Число слагаемых равно числу корней уравнения Коэффициенты можно сопоставить с постоянными интегрирования дифференциального уравнения (уравнений) цепи в классическом методе расчета.

Если среди корней уравнения есть нулевой корень то ему в правой части уравнения (8.61) соответствует слагаемое . Слагаемое представляет собой составляющую искомого тока (напряжения), обусловленную постоянными вынуждающими силами. Если постоянных вынуждающих сил в схеме нет, то

Важно сделать некоторые замечания к формуле (8.61).

1. Формула разложения применима при любых начальных условиях и при любых практически встречающихся формах напряжения источника ЭДС или тока, воздействующего на схему.

2. Если начальные условия не нулевые, то в состав войдут внутренние ЭДС.

3. Если уравнение имеет комплексно-сопряженные корни, то слагаемые, соответствующие им в формуле (8.61), оказываются также комплексно-сопряженными и в сумме дают действительное слагаемое.

4. Если воздействующая на схему ЭДС синусоидальна: и изображение ЭДС взято в виде , где комплексная амплитуда при использовании формулы разложения из правой части ее для перехода от комплекса к мгновенному значению следует взять коэффициент при (взять мнимую часть). В соответствии с этим внутренние ЭДС, которые появляются в правой части формулы разложения при ненулевых начальных условиях в цепях с синусоидальной ЭДС должны быть умножены на коэффициент

Умножить внутренние ЭДС на необходимо потому, что только в этом случае наличие этих ЭДС будет учтено при взятии мнимой части от правой части формулы разложения. В цепях с постоянной ЭДС внутренние ЭДС умножать на не нужно.

5. Если воздействующее на схему напряжение синусоидально, то принужденная составляющая решения входит в число слагаемых и определяется корнем Вычисление принужденной составляющей в виде члена этой суммы, соответствующего корню , для сложных схем в большинстве случаев более громоздко, чем непосредственное вычисление ее с помощью символического метода. Поэтому для сложных схем переменного тока принужденную составляющую рекомендуется вычислять символическим методом.

С помощью формулы, подобной формуле (8.61), можно определять не только токи и напряжения, но и многие другие функций времени: заряд конденсатора, скорость перемещения какого-либо тела механической системы и т. п.

Пример 94. Определить в схеме рис. 8.17 с помощью формулы разложения и сравнит с результ атом решения классическим методом (см. пример 80), если .

Решение. Составим иослекоммутационную операторную схему (рис. 8.32), имея в виду, что начальные условия ненулевые. Внутренняя ЭДС позволяет учесть, что до коммутации конденсатор был заряжен до напряжения током поэтому она направлена встречно току Узел 0 схемы заземлим. Потенциал узла обозначим и определим его по методу узловых потенциалов:

Рис. 8.32

По закону Ома для участка цепи с ЭДС,

После преобразований

Уравнение М(р) = 0 имеет корни

поэтому

Ток в схеме рис. 8.18

что совпадает с результатом примера 80.

Пример 95. Найти в схеме рис. 8.19 путем применения формулы разложения М сравнить рузультат с результатом решения той же задачи классическим методом пример 81).

Решение. Изображение синусоидальной ЭДС , где .

В схеме ненулевые начальные условия:

Так как действующая в схеме ЭДС синусоидальна и изображение ее взято в виде

— комплексная амплитуда), то в дальнейшем от правой части формулы разложения следует взять коэффициент при мнимой части (см. п. 4 § 8.49), поэтому умножим внутреннюю ЭДС на .

После небольших преобразований найдем

Следовательно,

Уравнение имеет корни поэтому

Ток

Результат совпадает с результатом примера 81.