§ 5.2. Основы теории k-фильтров.

Из § 4.10 известно, что если нагрузка согласована с характеристическим сопротивлением четырехполюсника, то напряжение и ток в нагрузке связаны с напряжением и током на входе четырехполюсника следующими соотношениями:

где

Тогда

Множитель определяет, во сколько раз модуль напряжения (тока) на выходе фильтра меньше модуля напряжения (тока) на его входе.

Если то и фильтр пропускает колебания без затухания. Таким образом, в полосе прозрачности .

В полосе затухания а > 0. Множитель по модулю равный 1, свидетельствует о том, что напряжение и ток отстают соответственно от на угол

Фильтрующие свойства четырехполюсника рассмотрим путем сравнения выражения для коэффициента А четырехполюсника с равным ему выражением гиперболического косинуса от аргумента

Гиперболический косинус от суммы двух аргументов (с учетом того, что ) можно представить следующим образом:

Для любого фильтра, собранного по Т-схеме (см. § 4.5),

Для фильтра, собранного по П-схеме (см. § 4.5), Из каких бы реактивных сопротивлений ни был собран фильтр, отношения в Т-схеме и в П-схеме всегда будут действительными (не мнимыми и не комплексными) числами — отношение двух мнимых чисел всегда есть число действительное. Следовательно, всегда будет действительным и коэффициент А. Но если коэффициент А действителен, то действительным должно быть и выражение равного ему

Это выражение действительно, если

При этом

Уравнения (5.1) и (5.2) используют для определения границ полосы прозрачности и характера изменения угла b в этой полосе, а также характера изменения коэффициента затухания в полосе (полосах) затухания.

Равенство (5.1) для полосы прозрачности удовлетворяется, так как . В силу того что уравнение (5.2) Для полосы прозрачности переходит в следующее:

Круговой косинус () может изменяться в пределах от до Поэтому крайние значения коэффициента А [являющегося Функцией частоты в полосе прозрачности равны ± 1. Полоса прозрачности в общем случае лежит в диапазоне частот от до

Значения для фильтров НЧ и ВЧ (подробнее см. § 5.3) определяют путем решения уравнений

Для полосовых и заграждающих фильтров (см. § 5.3) находят как корни уравнения

Частоту, являющуюся граничной между полосой прозрачности и полосой затухания, называют частотой среза.

Характер изменения угла в функции от о для полосы прозрачности определяют в соответствии с уравнением (5.3) следующим образом:

(5.5)

Определим а и для полосы затухания. В полосе затухания Уравнение (5.1) удовлетворяется при условии

т. е. при

и (или) при

Согласно уравнению (5.2), при

а при

Уравнения (5.9) и (5.10) позволяют по значениям А как функции со рассчитать в полосе затухания, а по определить а и, таким образом, построить кривую Из уравнений (5.7) и (5.8) следует, что в полосе затухания напряжение на выходе фильтра находится либо в фазе (при либо в противофазе (при ) с напряжением на входе фильтра.

В заключение необходимо отметить два важных положения:

1) с изменением частоты меняются коэффициенты В и С четырехполюсника, поэтому изменяется и характеристическое сопротивление Для того чтобы фильтр работал на согласованную нагрузку (только в этом случае справедлива изложенная! теория фильтров), при изменении частоты нужно менять и сопротивление нагрузки;

2) в полосе прозрачности характеристическое сопротивление К-фильтров (§ 5.3) активное, а в полосе затухания — чисто реактивное (индуктивное или емкостное).

Рис. 5.1

Рис. 5.2

Если нагрузка фильтра не чисто активная или не согласована с характеристическим сопротивлением фильтра, а также требуется учесть влияние активного сопротивления индуктивных катушек на работу фильтра (что существенно для низких частот), то для построения зависимости и зависимости сдвига фаз между и в функции частоты можно воспользоваться, например, методом пропорциональных величин (см. пример 57). Характеристическое сопротивление фильтра берут равным внутреннему сопротивлению источника сигнала (генератора). При этом и генератор и фильтр работают в режиме согласования.