Статически определимые фермы.

В статически определимых фермах усилия в стержнях полностью определяются условиями равновесия. На рис. 6.15 такими фермами являются фермы а, б, г; фермы в, д на рис. 6.15 статически неопределимые. В дальнейшем будет указано правило, позволяющее сразу определить статическую определимость или неопределимость фермы.

Расчет статически определимых ферм проводится методом сечений, сущность которого поясним несколькими примерами.

Пример 1. Двухраскосная ферма (рис. 6.19) с одинаковыми стержнями.

Рис. 6.18. Схема сварного узла

Рис. 6.19. Определение усилий в двухраскосной ферме: а — расчетная схема; б — равновесие узла; в — определение перемещений

Проводим сечение, вырезающее узел А, заменяем внутренние силы усилиями в стержнях и рассматриваем условие равновесия узла А

откуда усилие в стержнях

Заметим, что при . Знак плюс в формуле (75) означает, что предварительно выбранное направление усилий оказалось правильным.

В некоторых случаях может понадобиться значение перемещения точки А Удлинение стержня составит

где EF — жесткость сечения стержня на растяжение.

Положение точки А после нагружения можно найти, если провести две дуги радиусом и, приняв в качестве центров опорные узлы. Так как деформации малы, то достаточно отложить отрезки на оси стержня и восставить перпендикуляры из точек (см. рис. 6.19). Это правило можно сформулировать так: удлинение (или укорочение) стержня равно проекции перемещения конца стержня на первоначальное направление оси. В общем случае следует составить разность проекций перемещений концов стержня (если оба конца подвижны). Такпм образом, перемещение точки А равно

Замечание. На рис. 6.20 показана двухраскосная ферма, работающая в «распор». Усилия в стержнях очень велики, если угол а близок

Избегайте в конструкциях стержней, работающих в «распор»!

Пример 2. Треугольная ферма (рис. 6.21). Расчет фермы начнем с определения реакций опор.

Рис. 6.20. Явление «распор» в стержнях

Рис. 6.21. Треугольная ферма: а - расчетная схема; б — равновесие узла А; в — определение перемещений точки А

В точке В действует реакция опоры RB, в точке С — реактивные усилия Н и . По отношению к ферме реактивные усилия следует рассматривать как внешние нагрузки.

Проектируя все силы на горизонтальное и вертикальное направления, находим

(77)

Из условия равенства нулю - момента относительно какой-либо точки, например точки С, получаем

Из приведенных общих уравнений равновесия фермы (77) и (78) следует

Методой сечения выделим узел А и рассмотрим условия его равновесия. Приравнивая пулю сумму проекций сил на горизонтальное и вертикальное направления, приходим к системе уравнений

Из последних соотношений находим

Соотношения (80) можно получить и проще, спроектировав усилия, приложенные к А, на направления, перпендикулярные и Проекции полного смещения точки А на направления стержней (удлинения стержней)

где — длины и жесткости стержней.

Восставив перпендикуляры из точек и найдем на их пересечении точку А, в которой окажется узел А после приложения нагрузки.

Рис. 6.22. Картина перемещений точки А

На рис. 6.22 дана картина перемещения точки А. Проекция полного перемещения б на ось первого стержня показана с учетом его действительного знака по равенству (81). Отрезки легко определяются, если спроектировать отрезок на направления стержней:

Так как значения известны, то становятся известными значения и величина

Пример 3. Ферма составлена из равнобедренных треугольников (рис. 6.23). При большом числе узлов и стержней полезно установить общее правило для их обозначения. Будем обозначать узлы в порядке обхода контура по часовой стрелке.

Обозначения усилий в стержнях составим из номеров узлов, которые они соединяют: номера узлов разделяются запятой, так как возможны многоразрядные номера.

Рис. 6.23. Ферма из равнобедренных треугольников

Расчет начинается с определения усилий в опорных узлах. Они составляют (рис. 6.23). Далее удобно рассмотреть условия равновесия узла, к которому подходят не более двух стержней (например, узла ).

Из условия равновесия узла (неизвестные усилия считаем направленными на растяжение стержней) получаем

откуда

Условия равновесия узла А 2 дают

Учитывая соотношения (84), получаем

Окончательные результаты имеют вид

Объясните, почему стержень 2, 3 оказался сжатым!